Понятие числовой последовательности подразумевает соответствие каждому натуральному числу некоторого действительного значения. Такой ряд чисел может быть как произвольным, так и обладать определенными свойствами – прогрессия. В последнем случае каждый последующий элемент (член) последовательности можно вычислить с помощью предыдущего.
Арифметическая прогрессия – последовательность числовых значений, в которой ее соседние члены разнятся между собой на одинаковое число (подобным свойством обладают все элементы ряда, начиная со 2-ого). Данное число – разница между предыдущим и последующим членом – постоянно и называется разностью прогрессии.
Разность прогрессии: определение
Рассмотрим последовательность, состоящую из j значений A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j принадлежит множеству натуральных чисел N. Арифметическая прогрессия, согласно своего определения, – последовательность, в которой a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Величина d – искомая разность данной прогрессии.
d = a(j) – a(j-1).
Выделяют:
- Возрастающую прогрессию, в таком случае d > 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, …
- Убывающую прогрессию, тогда d < 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Разность прогрессии и ее произвольные элементы
Если известны 2 произвольных члена прогрессии (i-ый, k-ый), то установить разность для данной последовательности можно на базе соотношения:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, значит d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Разность прогрессии и ее первый член
Данное выражение поможет определить неизвестную величину лишь в случаях, когда известен номер элемента последовательности.
Разность прогрессии и ее сумма
Сумма прогрессии – это сумма ее членов. Для вычисления суммарного значения ее первых j элементов воспользуйтесь соответствующей формулой:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, но т.к. a(j) = a(1) + d(j – 1), то S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=((2a(1) + d(– 1))/2)*j.
В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.
Русский ученый, механик Н.Е. Жуковский
Весьма распространенными задачами на вступительных испытаниях по математике являются задачи, связанные с понятием арифметической прогрессии. Для успешного решения таких задач необходимо хорошо знать свойства арифметической прогрессии и иметь определенные навыки их применения.
Предварительно напомним основные свойства арифметической прогрессии и приведем наиболее важные формулы , связанные с этим понятием.
Определение. Числовая последовательность , в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на одно и то же число , называется арифметической прогрессией. При этом число называется разностью прогрессии.
Для арифметической прогрессии справедливы формулы
, (1)
где . Формула (1) называется формулой общего члена арифметической прогрессии, а формула (2) представляет собой основное свойство арифметической прогрессии: каждый член прогрессии совпадает со средним арифметическим своих соседних членов и .
Отметим, что именно из-за этого свойства рассматриваемая прогрессия называется «арифметической».
Приведенные выше формулы (1) и (2) обобщаются следующим образом:
(3)
Для вычисления суммы первых членов арифметической прогрессии обычно применяется формула
(5) где и .
Если принять во внимание формулу (1 ), то из формулы (5) вытекает
Если обозначить , то
где . Так как , то формулы (7) и (8) являются обобщением соответствующих формул (5) и (6).
В частности , из формулы (5) следует , что
К числу малоизвестных большинству учащихся относится свойство арифметической прогрессии, сформулированное посредством следующей теоремы.
Теорема. Если , то
Доказательство. Если , то
Теорема доказана.
Например , используя теорему , можно показать , что
Перейдем к рассмотрению типовых примеров решения задач на тему «Арифметическая прогрессия».
Пример 1. Пусть и . Найти .
Решение. Применяя формулу (6), получаем . Так как и , то или .
Пример 2. Пусть в три раза больше , а при делении на в частном получается 2 и в остатке 8. Определить и .
Решение. Из условия примера вытекает система уравнений
Так как , , и , то из системы уравнений (10) получаем
Решением данной системы уравнений являются и .
Пример 3. Найти , если и .
Решение. Согласно формуле (5) имеем или . Однако, используя свойство (9), получаем .
Так как и , то из равенства вытекает уравнение или .
Пример 4. Найти , если .
Решение. По формуле (5) имеем
Однако, используя теорему, можно записать
Отсюда и из формулы (11) получаем .
Пример 5 . Дано: . Найти .
Решение. Так как , то . Однако , поэтому .
Пример 6. Пусть , и . Найти .
Решение. Используя формулу (9), получаем . Поэтому, если , то или .
Так как и , то здесь имеем систему уравнений
Решая которую, получаем и .
Натуральным корнем уравнения является .
Пример 7. Найти , если и .
Решение. Так как по формуле (3) имеем, что , то из условия задачи вытекает система уравнений
Если подставить выражение во второе уравнение системы , то получим или .
Корнями квадратного уравнения являются и .
Рассмотрим два случая.
1. Пусть , тогда . Поскольку и , то .
В таком случае, согласно формуле (6), имеем
2. Если , то , и
Ответ: и .
Пример 8. Известно, что и . Найти .
Решение. Принимая во внимание формулу (5) и условие примера, запишем и .
Отсюда следует система уравнений
Если первое уравнение системы умножим на 2, а затем сложим его со вторым уравнением, то получим
Согласно формуле (9) имеем . В этой связи из (12) вытекает или .
Поскольку и , то .
Ответ: .
Пример 9. Найти , если и .
Решение. Поскольку , и по условию , то или .
Из формулы (5) известно , что . Так как , то .
Следовательно , здесь имеем систему линейных уравнений
Отсюда получаем и . Принимая во внимание формулу (8), запишем .
Пример 10. Решить уравнение .
Решение. Из заданного уравнения следует, что . Положим, что , , и . В таком случае .
Согласно формуле (1), можно записать или .
Так как , то уравнение (13) имеет единственный подходящий корень .
Пример 11. Найти максимальное значение при условии, что и .
Решение. Так как , то рассматриваемая арифметическая прогрессия является убывающей. В этой связи выражение принимает максимальное значение в том случае, когда является номером минимального положительного члена прогрессии.
Воспользуемся формулой (1) и тем фактом , что и . Тогда получим , что или .
Поскольку , то или . Однако в этом неравенстве наибольшее натуральное число , поэтому .
Если значения , и подставить в формулу (6), то получим .
Ответ: .
Пример 12. Определить сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на число 6 дают в остатке 5.
Решение. Обозначим через множество всех двузначных натуральных чисел, т.е. . Далее, построим подмножество , состоящее из тех элементов (чисел) множества , которые при делении на число 6 дают в остатке 5.
Нетрудно установить , что . Очевидно , что элементы множества образуют арифметическую прогрессию , в которой и .
Для установления мощности (числа элементов) множества положим, что . Так как и , то из формулы (1) следует или . Принимая во внимание формулу (5), получим .
Приведенные выше примеры решения задач ни в коем случае не могут претендовать на исчерпывающую полноту. Настоящая статья написана на основе анализа современных методов решения типовых задач на заданную тему. Для более глубокого изучения методов решения задач, связанных с арифметической прогрессией, целесообразно обратиться к списку рекомендуемой литературы.
1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS , 2014. – 216 с.
3. Медынский М.М. Полный курс элементарной математики в задачах и упражнениях. Книга 2: Числовые последовательности и прогрессии. – М.: Эдитус , 2015. – 208 с.
Остались вопросы?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, в котором каждое число больше (или меньше) предыдущего на одну и ту же величину.
Эта тема частенько представляется сложной и непонятной. Индексы у буковок, n-й член прогрессии, разность прогрессии - всё это как-то смущает, да... Разберёмся со смыслом арифметической прогрессии и всё сразу наладится.)
Понятие арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия - понятие очень простое и чёткое. Сомневаетесь? Зря.) Смотрите сами.
Я напишу незаконченный ряд чисел:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Сможете продлить этот ряд? Какие числа пойдут дальше, за пятёркой? Каждый... э-э-э..., короче, каждый сообразит, что дальше пойдут числа 6, 7, 8, 9 и т.д.
Усложним задачу. Даю незаконченный ряд чисел:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Сможете уловить закономерность, продлить ряд, и назвать седьмое число ряда?
Если сообразили, что это число 20 - я вас поздравляю! Вы не только почувствовали ключевые моменты арифметической прогрессии, но и успешно употребили их в дело! Если не сообразили - читаем дальше.
А теперь переведём ключевые моменты из ощущений в математику.)
Первый ключевой момент.
Арифметическая прогрессия имеет дело с рядами чисел. Это и смущает поначалу. Мы привыкли уравнения решать, графики строить и всё такое... А тут продлить ряд, найти число ряда...
Ничего страшного. Просто прогрессии - это первое знакомство с новым разделом математики. Раздел называется "Ряды" и работает именно с рядами чисел и выражений. Привыкайте.)
Второй ключевой момент.
В арифметической прогрессии любое число отличается от предыдущего на одну и ту же величину.
В первом примере эта разница - единичка. Какое число ни возьми, оно больше предыдущего на единичку. Во втором - тройка. Любое число больше предыдущего на тройку. Собственно, именно этот момент и даёт нам возможность уловить закономерность и рассчитать последующие числа.
Третий ключевой момент.
Этот момент не бросается в глаза, да... Но очень, очень важен. Вот он: каждое число прогрессии стоит на своём месте. Есть первое число, есть седьмое, есть сорок пятое, и т.д. Если их перепутать как попало, закономерность исчезнет. Исчезнет и арифметическая прогрессия. Останется просто ряд чисел.
Вот и вся суть.
Разумеется, в новой теме появляются новые термины и обозначения. Их надо знать. Иначе и задание-то не поймёшь. Например, придётся решать, что-нибудь, типа:
Выпишите первые шесть членов арифметической прогрессии (a n), если a 2 = 5, d = -2,5.
Внушает?) Буковки, индексы какие-то... А задание, между прочим - проще некуда. Просто нужно понять смысл терминов и обозначений. Сейчас мы это дело освоим и вернёмся к заданию.
Термины и обозначения.
Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, в котором каждое число отличается от предыдущего на одну и ту же величину.
Эта величина называется . Разберёмся с этим понятием поподробнее.
Разность арифметической прогрессии.
Разность арифметической прогрессии - это величина, на которую любое число прогрессии больше предыдущего.
Один важный момент. Прошу обратить внимание на слово "больше". Математически это означает, что каждое число прогрессии получается прибавлением разности арифметической прогрессии к предыдущему числу.
Для расчёта, скажем, второго числа ряда, надо к первому числу прибавить эту самую разность арифметической прогрессии. Для расчёта пятого - разность надо прибавить к четвёртому, ну и т.п.
Разность арифметической прогрессии может быть положительной, тогда каждое число ряда получится реально больше предыдущего. Такая прогрессия называется возрастающей. Например:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Здесь каждое число получается прибавлением положительного числа, +5 к предыдущему.
Разность может быть и отрицательной, тогда каждое число ряда получится меньше предыдущего. Такая прогрессия называется (вы не поверите!) убывающей.
Например:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Здесь каждое число получается тоже прибавлением к предыдущему, но уже отрицательного числа, -5.
Кстати, при работе с прогрессией очень полезно бывает сразу определить её характер - возрастающая она, или убывающая. Это здорово помогает сориентироваться в решении, засечь свои ошибки и исправить их, пока не поздно.
Разность арифметической прогрессии обозначается, как правило, буквой d.
Как найти d ? Очень просто. Надо от любого числа ряда отнять предыдущее число. Вычесть. Кстати, результат вычитания называется "разность".)
Определим, например, d для возрастающей арифметической прогрессии:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Берём любое число ряда, какое хотим, например, 11. Отнимаем от него предыдущее число, т.е. 8:
Это правильный ответ. Для этой арифметической прогрессии разность равна трём.
Брать можно именно любое число прогрессии, т.к. для конкретной прогрессии d - всегда одно и то же. Хоть где-нибудь в начале ряда, хоть в середине, хоть где угодно. Брать нельзя только самое первое число. Просто потому, что у самого первого числа нет предыдущего. )
Кстати, зная, что d = 3 , найти седьмое число этой прогрессии очень просто. Прибавим 3 к пятому числу - получим шестое, это будет 17. Прибавим к шестому числу тройку, получим седьмое число - двадцать.
Определим d для убывающей арифметической прогрессии:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Напоминаю, что, независимо от знаков, для определения d надо от любого числа отнять предыдущее. Выбираем любое число прогрессии, например -7. Предыдущее у него - число -2. Тогда:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Разность арифметической прогрессии может быть любым числом: целым, дробным, иррациональным, всяким.
Другие термины и обозначения.
Каждое число ряда называется членом арифметической прогрессии.
Каждый член прогрессии имет свой номер. Номера идут строго по порядочку, безо всяких фокусов. Первый, второй, третий, четвёртый и т.д. Например, в прогрессии 2, 5, 8, 11, 14, ... двойка - это первый член, пятёрка - второй, одиннадцать - четвёртый, ну, вы поняли...) Прошу чётко осознать - сами числа могут быть совершенно любые, целые, дробные, отрицательные, какие попало, но нумерация чисел - строго по порядку!
Как записать прогрессию в общем виде? Не вопрос! Каждое число ряда записывается в виде буквы. Для обозначения арифметической прогрессии используется, как правило, буква a . Номер члена указывается индексом внизу справа. Члены пишем через запятую (или точку с запятой), вот так:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 - это первое число, a 3 - третье, и т.п. Ничего хитрого. Записать этот ряд кратко можно вот так: (a n ).
Прогрессии бывают конечные и бесконечные.
Конечная прогрессия имеет ограниченное количество членов. Пять, тридцать восемь, сколько угодно. Но - конечное число.
Бесконечная прогрессия - имеет бесконечное количество членов, как можно догадаться.)
Записать конечную прогрессию через ряд можно вот так, все члены и точка в конце:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Или так, если членов много:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
В краткой записи придётся дополнительно указывать количество членов. Например (для двадцати членов), вот так:
(a n), n = 20
Бесконечную прогрессию можно узнать по многоточию в конце ряда, как в примерах этого урока.
Теперь уже можно порешать задания. Задания несложные, чисто для понимания смысла арифметической прогрессии.
Примеры заданий по арифметической прогрессии.
Разберём подробненько задание, что приведено выше:
1. Выпишите первые шесть членов арифметической прогрессии (a n), если a 2 = 5, d = -2,5.
Переводим задание на понятный язык. Дана бесконечная арифметическая прогрессия. Известен второе число этой прогрессии: a 2 = 5. Известна разность прогрессии: d = -2,5. Нужно найти первый, третий, четвёртый, пятый и шестой члены этой прогрессии.
Для наглядности запишу ряд по условию задачки. Первые шесть членов, где второй член - пятёрка:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....
a 3 = a 2 + d
Подставляем в выражение a 2 = 5 и d = -2,5 . Не забываем про минус!
a 3 =5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Третий член получился меньше второго. Всё логично. Если число больше предыдущего на отрицательную величину, значит само число получится меньше предыдущего. Прогрессия - убывающая. Ладно, учтём.) Считаем четвёртый член нашего ряда:
a 4 = a 3 + d
a 4 =2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5 =0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6 =-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Так, члены с третьего по шестой вычислили. Получился такой ряд:
a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....
Остаётся найти первый член a 1 по известному второму. Это шаг в другую сторону, влево.) Значит, разность арифметической прогрессии d надо не прибавить к a 2 , а отнять:
a 1 = a 2 - d
a 1 =5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Вот и все дела. Ответ задания:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Попутно замечу, что это задание мы решали рекуррентным способом. Это страшное слово означает, всего лишь, поиск члена прогрессии по предыдущему (соседнему) числу. Другие способы работы с прогрессией мы рассмотрим далее.
Из этого несложного задания можно сделать один важный вывод.
Запоминаем:
Если нам известен хотя бы один член и разность арифметической прогрессии, мы можем найти любой член этой прогрессии.
Запомнили? Этот несложный вывод позволяет решать большинство задач школьного курса по этой теме. Все задачи крутятся вокруг трёх главных параметров: член арифметической прогрессии, разность прогрессии, номер члена прогрессии. Всё.
Разумеется, вся предыдущая алгебра не отменяется.) К прогрессии прицепляются и неравенства, и уравнения, и прочие вещи. Но по самой прогрессии - всё крутится вокруг трёх параметров.
Для примера рассмотрим некоторые популярные задания по этой теме.
2. Запишите конечную арифметическую прогрессию в виде ряда, если n=5, d = 0,4, и a 1 = 3,6.
Здесь всё просто. Всё уже дано. Нужно вспомнить, как считаются члены арифметической прогрессии, посчитать, да и записать. Желательно не пропустить слова в условии задания: "конечную" и "n=5 ". Чтобы не считать до полного посинения.) В этой прогрессии всего 5 (пять) членов:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Остаётся записать ответ:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Ещё задание:
3. Определите, будет ли число 7 членом арифметической прогрессии (a n), если a 1 = 4,1; d = 1,2.
Хм... Кто ж его знает? Как определить-то?
Как-как... Да записать прогрессию в виде ряда и посмотреть, будет там семёрка, или нет! Считаем:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Сейчас чётко видно, что семёрку мы просто проскочили между 6,5 и 7,7! Не попала семёрка в наш ряд чисел, и, значит, семёрка не будет членом заданной прогрессии.
Ответ: нет.
А вот задачка на основе реального варианта ГИА:
4. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:
...; 15; х; 9; 6; ...
Здесь записан ряд без конца и начала. Нет ни номеров членов, ни разности d . Ничего страшного. Для решения задания достаточно понимать смысл арифметической прогрессии. Смотрим и соображаем, что можно узнать из этого ряда? Какие параметры из трёх главных?
Номера членов? Нет тут ни единого номера.
Зато есть три числа и - внимание! - слово "последовательных" в условии. Это значит, что числа идут строго по порядку, без пропусков. А есть ли в этом ряду два соседних известных числа? Да, есть! Это 9 и 6. Стало быть, мы можем вычислить разность арифметической прогрессии! От шестёрки отнимаем предыдущее число, т.е. девятку:
Остались сущие пустяки. Какое число будет предыдущим для икса? Пятнадцать. Значит, икс можно легко найти простым сложением. К 15 прибавить разность арифметической прогрессии:
Вот и всё. Ответ: х=12
Следующие задачки решаем самостоятельно. Замечание: эти задачки - не на формулы. Чисто на понимание смысла арифметической прогрессии.) Просто записываем ряд с числами-буквами, смотрим и соображаем.
5. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии, если a 5 = -3; d = 1,1.
6. Известно, что число 5,5 является членом арифметической прогрессии (a n), где a 1 = 1,6; d = 1,3. Определите номер n этого члена.
7. Известно, что в арифметической прогрессии a 2 = 4; a 5 = 15,1. Найдите a 3 .
8. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:
...; 15,6; х; 3,4; ...
Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.
9. Поезд начал движение от станции, равномерно увеличивая скорость на 30 метров в минуту. Какова будет скорость поезда через пять минут? Ответ дайте в км/час.
10. Известно, что в арифметической прогрессии a 2 = 5; a 6 = -5. Найдите a 1 .
Ответы (в беспорядке): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Всё получилось? Замечательно! Можно осваивать арифметическую прогрессию на более высоком уровне, в следующих уроках.
Не всё получилось? Не беда. В Особом разделе 555 все эти задачки разобраны по косточкам.) И, конечно, описан простой практический приём, который сразу высвечивает решение подобных заданий чётко, ясно, как на ладони!
Кстати, в задачке про поезд есть две проблемки, на которых часто спотыкается народ. Одна - чисто по прогрессии, а вторая - общая для любых задач по математике, да и физике тоже. Это перевод размерностей из одной в другую. В показано, как надо эти проблемы решать.
В этом уроке мы рассмотрели элементарный смысл арифметической прогрессии и её основные параметры. Этого достаточно для решения практически всех задач на эту тему. Прибавляй d к числам, пиши ряд, всё и решится.
Решение "на пальцах" хорошо подходит для очень коротких кусочков ряда, как в примерах этого урока. Если ряд подлиннее, вычисления усложняются. Например, если в задачке 9 в вопросе заменить "пять минут" на "тридцать пять минут", задачка станет существенно злее.)
А ещё бывают задания простые по сути, но несусветные по вычислениям, например:
Дана арифметическая прогрессия (a n). Найти a 121 , если a 1 =3, а d=1/6.
И что, будем много-много раз прибавлять по 1/6?! Это же убиться можно!?
Можно.) Если не знать простую формулу, по которой решать подобные задания можно за минуту. Эта формула будет в следующем уроке. И задачка эта там решена. За минуту.)
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Задачи по арифметической прогрессии существовали уже в глубокой древности. Они появлялись и требовали решения, поскольку имели практическую необходимость.
Так, в одном из папирусов Древнего Египта, имеющем математическое содержание, - папирусе Райнда (XIX век до нашей эры) - содержится такая задача: раздели десять мер хлеба на десять человек, при условии если разность между каждым из них составляет одну восьмую меры».
И в математических трудах древних греков встречаются изящные теоремы, имеющие отношение к арифметической прогрессии. Так, Гипсикл Александрийский (II век составивший немало интересных задач и добавивший четырнадцатую книгу к «Началам» Евклида, сформулировал мысль: «В арифметической прогрессии, имеющей четное число членов, сумма членов 2-ой половины больше суммы членов 1-ой на квадрату 1/2 числа членов».
Обозначается последовательность an. Числа последовательности называются ее членами и обозначаются обычно буквами с индексами, которые указывают порядковый номер этого члена (a1, a2, a3 … читается: «a 1-ое», «a 2-ое», «a 3-тье» и так далее).
Последовательность может быть бесконечной или конечной.
А что же такое арифметическая прогрессия? Под ней понимают получаемую сложением предыдущего члена (n) с одним и тем же числом d, являющимся разностью прогрессии.
Если d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то такая прогрессия считается возрастающей.
Арифметическая прогрессия называется конечной, если учитываются только несколько ее первых членов. При очень большом количестве членов это уже бесконечная прогрессия.
Задается любая арифметическая прогрессия следующей формулой:
an =kn+b, при этом b и k - некоторые числа.
Абсолютно верно утверждение, являющееся обратным: если последовательность задается подобной формулой, то это точно арифметическая прогрессия, которая имеет свойства:
- Каждый член прогрессии - среднее арифметическое предыдущего члена и последующего.
- Обратное: если, начиная со 2-ого, каждый член - среднее арифметическое предыдущего члена и последующего, т.е. если выполняется условие, то данная последовательность - арифметическая прогрессия. Это равенство одновременно является и признаком прогрессии, поэтому его, как правило, называют характеристическим свойством прогрессии.
Точно так же верна теорема, которая отражает это свойство: последовательность - арифметическая прогрессия только в том случае, если это равенство верно для любого из членов последовательности, начиная со 2-ого.
Характеристическое свойство для четырёх любых чисел арифметической прогрессии может быть выражено формулой an + am = ak + al, если n + m = k + l (m, n, k - числа прогрессии).
В арифметической прогрессии любой необходимый (N-й) член найти можно, применяя следующую формулу:
К примеру: первый член (a1) в арифметической прогрессии задан и равен трём, а разность (d) равняется четырём. Найти нужно сорок пятый член этой прогрессии. a45 = 1+4(45-1)=177
Формула an = ak + d(n - k) позволяет определить n-й член арифметической прогрессии через любой ее k-тый член при условии, если он известен.
Сумма членов арифметической прогрессии (подразумевается 1-ые n членов конечной прогрессии) вычисляется следующим образом:
Sn = (a1+an) n/2.
Если известны и 1-ый член, то для вычисления удобна другая формула:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
Сумма арифметической прогрессии, которая содержит n членов, подсчитывается таким образом:
Выбор формул для расчетов зависит от условий задач и исходных данных.
Натуральный ряд любых чисел, таких как 1,2,3,...,n,...- простейший пример арифметической прогрессии.
Помимо арифметической прогрессии существует еще и геометрическая, которая обладает своими свойствами и характеристиками.
И. В. Яковлев | Материалы по математике | MathUs.ru
Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия это специального вида последовательность. Поэтому прежде чем давать определение арифметической (а затем и геометрической) прогрессии, нам нужно вкратце обсудить важное понятие числовой последовательности.
Последовательность
Вообразите устройство, на экране которого высвечиваются одно за другим некоторые числа. Скажем, 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Такой набор чисел как раз и является примером последовательности.
Определение. Числовая последовательность это множество чисел, в котором каждому числу можно присвоить уникальный номер (то есть поставить в соответствие единственное натуральное число)1 . Число с номером n называется n-м членом последовательности.
Так, в приведённом выше примере первый номер имеет число 2 это первый член последовательности, который можно обозначить a1 ; номер пять имеет число 6 это пятый член последовательности, который можно обозначить a5 . Вообще, n-й член последовательности обозначается an (или bn , cn и т. д.).
Очень удобна ситуация, когда n-й член последовательности можно задать некоторой формулой. Например, формула an = 2n 3 задаёт последовательность: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Формула an = (1)n задаёт последовательность: 1; 1; 1; 1; : : :
Не всякое множество чисел является последовательностью. Так, отрезок не последовательность; в нём содержится ¾слишком много¿ чисел, чтобы их можно было перенумеровать. Множество R всех действительных чисел также не является последовательностью. Эти факты доказываются в курсе математического анализа.
Арифметическая прогрессия: основные определения
Вот теперь мы готовы дать определение арифметической прогрессии.
Определение. Арифметическая прогрессия это последовательность, каждый член которой (начиная со второго) равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа (называемого разностью арифметической прогрессии).
Например, последовательность 2; 5; 8; 11; : : : является арифметической прогрессией с первым членом 2 и разностью 3. Последовательность 7; 2; 3; 8; : : : является арифметической прогрессией с первым членом 7 и разностью 5. Последовательность 3; 3; 3; : : : является арифметической прогрессией с разностью, равной нулю.
Эквивалентное определение: последовательность an называется арифметической прогрессией, если разность an+1 an есть величина постоянная (не зависящая от n).
Арифметическая прогрессия называется возрастающей, если её разность положительна, и убывающей, если её разность отрицательна.
1 А вот более лаконичное определение: последовательность есть функция, определённая на множестве натуральных чисел. Например, последовательность действительных чисел есть функция f: N ! R.
По умолчанию последовательности считаются бесконечными, то есть содержащими бесконечное множество чисел. Но никто не мешает рассматривать и конечные последовательности; собственно, любой конечный набор чисел можно назвать конечной последовательностью. Например, конечная последовательность 1; 2; 3; 4; 5 состоит из пяти чисел.
Формула n-го члена арифметической прогрессии
Легко понять, что арифметическая прогрессия полностью определяется двумя числами: первым членом и разностью. Поэтому возникает вопрос: как, зная первый член и разность, найти произвольный член арифметической прогрессии?
Получить искомую формулу n-го члена арифметической прогрессии нетрудно. Пусть an
арифметическая прогрессия с разностью d. Имеем: |
|
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :): |
|
В частности, пишем: |
|
a2 = a1 + d; |
|
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; |
|
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; |
|
и теперь становится ясно, что формула для an имеет вид: |
|
an = a1 + (n 1)d: |
Задача 1. В арифметической прогрессии 2; 5; 8; 11; : : : найти формулу n-го члена и вычислить сотый член.
Решение. Согласно формуле (1 ) имеем:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Свойство и признак арифметической прогрессии
Свойство арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии an для любого
Иначе говоря, каждый член арифметической прогрессии (начиная со второго) является средним арифметическим соседних членов.
Доказательство. Имеем: |
||||
a n 1 + a n+1 |
(an d) + (an + d) |
|||
что и требовалось.
Более общим образом, для арифметической прогрессии an справедливо равенство
a n = a n k + a n+k
при любом n > 2 и любом натуральном k < n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Оказывается, формула (2 ) служит не только необходимым, но и достаточным условием того, что последовательность является арифметической прогрессией.
Признак арифметической прогрессии. Если для всех n > 2 выполнено равенство (2 ), то последовательность an является арифметической прогрессией.
Доказательство. Перепишем формулу (2 ) следующим образом:
a n a n 1 = a n+1 a n:
Отсюда видно, что разность an+1 an не зависит от n, а это как раз и означает, что последовательность an есть арифметическая прогрессия.
Свойство и признак арифметической прогрессии можно сформулировать в виде одного утверждения; мы для удобства сделаем это для трёх чисел (именно такая ситуация часто встречается в задачах).
Характеризация арифметической прогрессии. Три числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда 2b = a + c.
Задача 2. (МГУ, экономич. ф-т, 2007) Три числа 8x, 3 x2 и 4 в указанном порядке образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите x и укажите разность этой прогрессии.
Решение. По свойству арифметической прогрессии имеем:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:
Если x = 1, то получается убывающая прогрессия 8, 2, 4 с разностью 6. Если x = 5, то получается возрастающая прогрессия 40, 22, 4; этот случай не годится.
Ответ: x = 1, разность равна 6.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Легенда гласит, что однажды учитель велел детям найти сумму чисел от 1 до 100 и сел спокойно читать газету. Однако не прошло и нескольких минут, как один мальчик сказал, что решил задачу. Это был 9-летний Карл Фридрих Гаусс, впоследствии один из величайших математиков в истории.
Идея маленького Гаусса была такова. Пусть
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Запишем данную сумму в обратном порядке:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
и сложим две этих формулы:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Каждое слагаемое в скобках равно 101, а всего таких слагаемых 100. Поэтому
2S = 101 100 = 10100;
Мы используем эту идею для вывода формулы суммы
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Полезная модификация формулы (3 ) получается, если в неё подставить формулу n-го члена an = a1 + (n 1)d:
2a1 + (n 1)d |
|||||
Задача 3. Найти сумму всех положительных трёхзначных чисел, делящихся на 13.
Решение. Трёхзначные числа, кратные 13, образуют арифметическую прогрессию с первым членом 104 и разностью 13; n-й член этой прогрессии имеет вид:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Давайте выясним, сколько членов содержит наша прогрессия. Для этого решим неравенство:
an 6 999; 91 + 13n 6 999;
n 6 908 13 = 6911 13 ; n 6 69:
Итак, в нашей прогрессии 69 членов. По формуле (4 ) находим искомую сумму:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2