От порядка к хаосу. сценарии перехода к хаосу

Как известно, в уравнениях ДС обычно присутствуют параметры – величины, которые считаются постоянными во времени, но от задания которых может зависеть характер реализующегося в системе режима. Можно представить себе, что система заключена в черный ящик, на котором имеется несколько ручек настройки. Предположим, что при одном положении ручек наблюдается регулярный режим динамики, например, периодические колебания, а при другом – хаос. Если мы плавно меняем настройку так, чтобы перейти от первой ситуации ко второй, то возникает вопрос: какой будет на пути к хаосу последовательность бифуркаций – событий, состоящих в качественном изменении характера наблюдаемого режима? Об этой последовательности бифуркаций принято говорить как о сценарии перехода к хаосу. При этом подразумевается, что имеется сравнительно немного сценариев, являющихся в определенном смысле слова типичными, так что проблема их классификации и изучения не является сложной.

Первый из сценариев развития хаоса был предложен Л.Д. Ландау в 1944 г. и независимо от него Э. Хопфом в связи с попытками объяснить возникновение турбулентного поведения жидкости при увеличении числа Рейнольдса, основного управляющего параметра в гидродинамических задачах. Согласно предложенному сценарию, получившему название сценария Ландау-Хопфа, первичное течение теряет устойчивость по отношению к колебательному возмущению на некоторой частоте, затем возникшее осциллирующее течение в свою очередь становится неустойчивым по отношению к возмущению на другой частоте и т.д. В результате большого числа бифуркаций, которые сопровождаются возникновением все новых и новых частот, находящихся в иррациональных отношениях, возникает сложный режим – турбулентность. Применительно к диссипативным ДС возникновение все новых и новых несоизмеримых частот приводит к многочастотному квазипериодическому режиму, соответствующему многомерному тору в фазовом пространстве ДС. Если число бифуркаций велико, то спектр процесса с учетом флуктуаций, всегда присутствующих в реальных системах, становится достаточно широкополосным, как и спектр хаотических колебаний. Однако многочастотные квазипериодические колебания, даже в присутствии шума, могут оставаться устойчивыми по Ляпунову. Перемешивание в такой системе будет связано только с шумом, а не с детерминированным оператором эволюции. Таким образом, сценарий Ландау-Хопфа не предполагает обязательного перехода к хаотический динамике и, строго говоря, не является сценарием развития хаоса.

Идея развития турбулентности через квазипериодические колебания в начале 1970-х г. была переработана с новых позиций Д. Рюэлем, Ф. Такенсом и С. Ньюхаусом. Согласно их утверждению, после рождения первых трех составляющих с несоизмеримыми частотами может возникать странный аттрактор, который характеризуется неустойчивостью принадлежащих ему фазовых траекторий. По Рюэлю и Такенсу, странный аттрактор и есть математический образ турбулентного движения. Ситуация, когда имеет место большее число бифуркаций, практически невероятна. Однако данное предположение оказалось справедливым, хотя и для другого сценария – перехода к хаосу через каскад (бесконечную последовательность) бифуркаций удвоения периода. Около 1976 г. американский физик Митчел Фейгенбаум обнаружил ряд замечательных закономерностей, сопровождающих этот тип перехода к хаосу. О нем говорят теперь как о сценарии Фейгенбаума. Он первым обнаружил присущие этому сценарию свойства универсальности и скейлинга (масштабного подобия) и разработал их теоретическое обоснование – метод ренормализационной группы (сокращенно ренормгруппы или РГ). Сущность концепции универсальности состоит в том, что имеется обширное множество нелинейных диссипативных систем различной природы (класс универсальности), которые не просто демонстрируют одну и ту же последовательность бифуркаций, но проявляют у порога возникновения хаоса одни и те же количественные закономерности скейлинга с присущими данному классу универсальности определенными значениями масштабных констант.

В 1980 г. появилось сообщение французских исследователей И. Помо и П. Манневилля, положившее начало изучению группы сценариев перехода к хаосу через перемежаемость. В гидродинамике давно известна так называемая перемежающаяся турбулентность, когда течение в определенных пространственных областях имеет плавный, ламинарный характер, но они чередуются с областями нерегулярного, турбулентного течения. Благодаря тому, что турбулентные области перемещаются, меняют форму, возникают и исчезают, перемежающийся характер носит также зависимость наблюдаемых величин от времени в фиксированной точке пространства. Помо и Манневилль указали несколько возможных ситуаций, когда в ДС может возникнуть перемежаемость, и наметили классификацию, введя в рассмотрение три типа перемежаемости.

Таким образом, существует три основных сценария перехода ДС к хаосу: 1)через каскад бифуркаций удвоения периода; 2)через перемежаемость; 3)через квазипериодические режимы. Обсудим, почему типичными оказываются именно перечисленные выше сценарии и в каком отношении друг другу они находятся. (40) (41) (40)

(45)

Если нелинейность в системе способствует стабилизации возмущения, то происходит бифуркация рождения тора, если (arg)/2 - иррациональное число, или периодической орбиты – резонансного цикла на торе, если оно рациональное. Области периодичности имеют вид языков, подходящих сверху к линии J = 1, а в промежутках между языками реализуются квазипериодические режимы. Бифуркация рождения тора из предельного цикла носит название бифуркации Неймарка-Сакера. Дальнейшая эволюция аттрактора при изменении управляющего параметра может быть разнообразной и сложной, но в общем можно сказать, что реализуется та ситуация, о которой говорят как о переходе к хаосу через квазипериодичность.

Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода. Универсальность Фейгенбаума. Каскад бифуркаций удвоения в логистическом отображении Логистическое отображение (также известное как квадратичное отображение, или отображение Фейгенбаума) является полиномиальным отображением, которое широко используется в качестве типичного примера того, как сложное, хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных уравнений. Данное отображение было введено еще в 1845 г. П.Ф. Ферхюльстом для описания динамики популяции в замкнутой среде. Относительная численность особей x n+1 в (n + 1)-й год пропорциональна численности особей в предыдущий год (x n принимает значения от 0 до 1 и отражает численность популяции в n-м году), а также свободной части жизненного пространства, которая пропорциональна (1 - x n), т.е. Положительный параметр характеризует скорость роста популяции. (2)

Другой отличительной особенностью, которая обусловила известность логистического отображения, явилось то, что это одномерное отображение послужило примером для демонстрации и изучения формирования хаотического аттрактора в результате бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода циклов. При каждой такой бифуркации период возрастает вдвое, что соответствует «уполовиниванию» частоты, т.е. появлению субгармоники в спектре колебаний. По этой причине такую последовательность бифуркаций называют также субгармоническим каскадом. Сценарий перехода к хаосу через каскад удвоения периода очень часто наблюдается в динамических системах с непрерывным временем и является одним из основных механизмов развития хаоса. На примере одной их самых простейших дискретных одномерных систем можно очень наглядно пронаблюдать и проанализировать данный каскад. А все его свойства и закономерности будут в точности проявляться и в более сложных дискретных и непрерывных системах. Теория перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода была развита на базе модельных одномерных отображений М. Фейгенбаумом, поэтому сам данный бифуркационный механизм получил название сценария Фейгенбаума.

Механизм последовательного увеличения периода циклов отображения (2) Как мы уже показывали, при 1

При 2 = … точки x* 1 и x* 2 цикла одновременно теряют устойчивость, когда их мультипликаторы (f (2) (x* 1) и f (2) (x* 2)) в свою очередь достигают значения -1. После бифуркации удвоения образуется цикл периода 4 отображения (2). Цикл периода 4 Цикл периода 8 Наблюдается последовательность бифуркаций удвоения и появление циклов периода 2 n.

При значении приблизительно равном 3.57, начинается хаотическое поведение, а каскад удвоений заканчивается. Колебания больше не наблюдаются. Небольшие изменения в начальных условиях приводят к несопоставимым отличиям дальнейшего поведения системы во времени, что является основной характеристикой хаотического поведения.

Бифуркационная диаграмма логистического отображения Чтобы увидеть весь процесс усложнения циклов отображения (2) по мере роста параметра, строится однопараметрическая бифуркационная диаграмма, по горизонтальной оси которой отложены значения, а по вертикальной – значения x n, принадлежащие установившемуся режиму (время n должно быть достаточно большим). Бифуркационным точкам, где происходит смена устойчивого режима, соответствуют точки ветвления диаграммы. Оценив их положение на диаграмме, можно определить тем самым области устойчивости циклов.

Большинство значений μ, превышающих 3.57, демонстрируют хаотическое поведение, однако существуют узкие, изолированные «окна» значений μ, при которых система ведет себя регулярно. Обычно их называют «окнами периодичности». К примеру, начиная со значения 1+ 8 (приблизительно 3.83), существует набор значений параметров μ, при которых наблюдаются колебания между тремя значениями, а для больших значений μ - между 6, потом 12 и т.д. Фактически, в системе можно найти периодические колебания с любым количеством значений – периодов циклов. Последовательность смены количества значений удовлетворяет порядку Шарковского. При μ = 4, значения отображения покидают единичный интервал и расходятся при любых начальных условиях.

Кроме хаотических траекторий, логистическое отображение имеет в закритической области множество периодических траекторий с различными периодами. В работе А.Н. Шарковского устанавливается иерархия циклов гладкого необратимого отображения отрезка. Цикл периода M считается сложным, чем цикл периода N, если из существования M-цикла следует существование N-цикла. Говорят, что между периодами существует отношение M N. Согласно теореме Шарковского, это отношение упорядочивает циклы следующим образом (так называемый порядок Шарковского): Самым сложным в смысле Шарковского оказывается цикл периода 3. Из его существования следует существование циклов любого периода. Было также доказано, что из существования у отображения цикла периода 3 следует существование хаотических последовательностей. «Окна периодичности»

Расположение области устойчивости (окон периодичности) циклов различного периода в закритической области подчиняется следующей закономерности: 6, 5, 3, 6, 5, 6, 4, 6, 5, 6 … Наиболее широкое окно устойчивости соответствует циклу периода 3, который возникает в результате касательной бифуркации и с ростом параметра претерпевает последовательность бифуркаций удвоения периода с образованием хаоса. Аналогично возникают и эволюционируют в окнах устойчивости циклы с другими периодами. Вообще говоря, в закритической области в сколь угодно малой окрестности любого значения параметра существует окно устойчивости какого-либо цикла. Период цикла может быть столь велик, а окно устойчивости столь узко, что цикл невозможно наблюдать даже в численных экспериментах.

Если проанализировать последовательность бифуркационных значений параметра соответствующих бифуркациям удвоения, то можно увидеть, что они сходятся к некоторому пределу, который обозначим как. При = число периодических точек становится бесконечным, а за пределами этого (конечного) значения поведение итераций для большинства хаотично. Предположим, что значения k сходятся по закону геометрической прогрессии. Тогда мы можем оценить параметры сходимости, записав ее в следующем виде (49) где c и - постоянные, по величине больше 1: c, = const > 1. Так как напрямую рассчитать затруднительно, выразим для конечных k: (50) (51) (52) Вычтем (51) из (50) и (52) из (51): (53) (54) Поделим теперь (53) на (54) и получим следующее соотношение: 1. Так как напрямую рассчитать затруднительно, выразим для конечных k: (50) (51) (52) Вычтем (51) из (50) и (52) из (51): (53) (54) Поделим теперь (53) на (54) и получим следующее соотношение:">

(55) Данное соотношение позволяет оценить из результатов расчета k. Зная, можно получить оценку для c, а затем и для. Результаты расчетов дают Таким образом, при k скорость сходимости бифуркационых значений k стремится к некоторому конечному пределу, равному = …, которая называется универсальной константой Фейгенбаума. Как показали численные исследования, величина не зависит от конкретного вида отображения. Главное, чтобы оно было унимодальным (имело один экстремум) и чтобы экстремум был квадратичным.

Универсальные константы Фейгенбаума Скорость схождения бифуркационных значений параметра к критическому значению определяется универсальной константой Фейгенбаума. Значения переменной отображения x n также демонстрируют самоподобную структуру, и их эволюция также характеризуется универсальной константой, отражающей закономерность в процессе дробления масштабов амплитуд. Чтобы определить эту константу, введем в рассмотрение значение параметра k, соответствующее суперустойчивым циклам. Заметим, что каждый 2 k – цикл логистического отображения рождается при k, имея собственное значение, равное +1, и теряет устойчивость при k+1 по мере достижения собственным значением величины -1. Таким образом, при некотором k

Относительно уровня суперустойчивой точки x = 0.5 определим расстояния между подобными точками ветвей бифуркационной диаграммы, соответствующих бифуркациям удвоения. На рисунке они обозначены как d k. Можно заметить, что d k располагаются попеременно то выше, то ниже линии x = 0.5. Это соответствует знакопеременности d k с ростом k. Масштабный множитель в пределе сходится к некоторому значению, которое называется универсальным масштабным множителем а. (57) Процесс дробления масштабов с ростом параметра μ продолжается бесконечно (последовательность удвоений периода) и демонстрирует универсальные свойства, которые заключаются в следующем:

Каскад бифуркаций связанности За критической точкой (значение параметра 3.57, соответствующее возникновению хаотического поведения) в системах с фейгенбаумовским сценарием развития хаоса наблюдается каскад бифуркаций связанности. Бифуркация связанности представляет собой объединение частей (лент) хаотического аттрактора, посещаемых изображающей точкой в определенном порядке.

Обозначим значения параметра, соответствующие бифуркациям связанности как i c (индекс i =1,2,... возрастает с приближением к критической точке справа налево). Расположение на оси значений параметра интервалов существования периодических аттракторов 2 i (- период цикла отображения) до критической точки и 2 i – связанных хаотических множеств за критической точкой обладает симметрией относительно критической точки. Фрагменты многосвязанных хаотических множеств в соответствующих точках каждого отрезка обладают свойством подобия с масштабными множителями, стремящимися к универсальной константе a. Скорость накопления значений i c к критической точке равна универсальной константе Фейгенбаума.

Скейлинг Обнаруженный Фейгенбаумом закон сходимости есть не что иное, как частное проявление свойства скейлинга: если при некотором значении наблюдается бифуркация удвоения периода, то при отклонении от критической точки / оператор эволюции за удвоенный период времени должен быть подобен, т.е. тоже отвечать моменту бифуркации. Более общая формулировка состоит в том, что структура разбиения оси параметра на области различного типа динамики воспроизводит себя при уменьшении масштаба относительно критической точки в раз. Иными словами, в сходственных точках и + (-)/ реализуются подобные режимы динамики. Это означает, во-первых, совпадение характера режимов (периодический, хаотический), а во- вторых, возможность определения характеристик одного режима по характеристикам другого с помощью надлежащего пересчета. Этот пересчет сопровождается изменением масштаба времени, так что характерный период движений возрастает при приближении к критической точке, а в ней самой обращается в бесконечность. Пересчет масштаба по оси параметра производится в = 4, 669… раза -

Одним из проявлений скейлинга является характерная зависимость мультипликаторов от параметра для циклов периода 2 k вблизи критической точки. c В момент рождения каждого цикла его мультипликатор равен + 1. При увеличении параметра мультипликатор уменьшается, проходит через 0 и затем через - 1. В это момент цикл перестает быть устойчивым, и рождается цикл удвоенного периода также с мультипликатором + 1. Графики, отвечающие циклам периода 2 k и 2 k+1, переходят друг в друга при пересчете масштаба по оси параметра на фактор. Точка пересечения кривых кривых зависимости k от для циклов разного периода (в асимптотике по k) есть критическая точка. Величина мультипликатора в точке пересечения стремится к универсальной константе с = -1,60119…

Иллюстрация скейлинга на графике ляпуновского показателя Масштаб по горизонтальной оси пересчитывается в = 4,6692… раза относительно критической точки, а по вертикальной оси – в 2 раза. При пересчете управляющего параметра по правилу / получается режим динамики, подобный исходному, но с удвоенным временным масштабом. Поэтому ляпуновский показатель (который имеет размерность обратного времени) пересчитывается по правилу /2. Из рисунка видно, что ожидаемый скейлинг подтверждается с высокой точностью, растущей при переходе к более глубоким уровням.

О переходе к хаосу через удвоения периода в реальных системах и моделях в виде дифференциальных уравнений В реальных нелинейных диссипативных системах очень часто можно наблюдать переход к хаосу через удвоения периода. Из-за неизбежного присутствия шумов удается различить в эксперименте только ограниченное число бифуркаций. Тем не менее, общая картина перехода очень характерна и демонстрирует многие тонкие детали, присущие данному классу универсальности. Оценки констант Фейгенбаума, полученные в экспериментах, находятся в разумном соответствии с теорией. Рассмотрим переход к хаосу через удвоения периода на примере ГИН: (10)

Универсальная постоянная Фейгенбаума оценивалась по выражению: (58) Расчеты проводились для значений k = 1, 2, 3, 4, т.е. до точки бифуркации удвоения цикла периода 16. Как показали эксперименты, разумная точность оценки универсальной постоянной Фейгенбаума достигается уже в этом случае, хотя соотношение (58) справедливо лишь в пределе при k. Критические значения параметров m * (или g *), отвечающие точке бифуркации рождения хаотического аттрактора, оценивались по формуле: (59)где k = 4.

В связи с тем, что универсальность перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода была доказана Фейгенбаумом для класса гладких одномерных отображений с квадратичным максимумом, возникает естественный вопрос: почему эти закономерности с высокой степенью точности выполняются для трехмерной ДС (10)? Ответ на этот вопрос заключается в том, что динамика системы (10) с высокой степенью точности может быть охарактеризована одномерным отображением класса Фейгенбаума. Рассмотрим режим хаотического аттрактора в системе (10) при m = 1.5 и g = 0.3. Введем в фазовом пространстве секущую плоскость условием x = 0 и построим двумерное отображение (y n+1, z n+1) = F(y n, z n) на секущей плоскости. Как показали расчеты, полученное отображение близко к одномерному. Используя данные расчета отображения в секущей плоскости, построим численно одномерное отображение y n+1 = F(y n). Результаты представлены на рисунке. Как видно из графика, отображение действительно близко к одномерному и имеет гладкий квадратичный максимум.

Точка периодическая, если она переходит в себя после применения к ней отображения несколько раз, т.е. если при некотором

Наименьшее такое называется минимальным периодом точки .

Теорема Шарковского была первым общим результатом о динамических системах, получающихся при итерировании отображений отрезка в себя. Хотя эта «одномерная динамика» кажется чем-то весьма специальным, подобные отображения возникают в некоторых вопросах естествознания и техники, а также играют важную вспомогательную роль при чисто теоретических исследованиях более сложных динамических систем.

Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН.

Дмитрий Аносов

Лекции читает Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 2001 г.

Дмитрий Аносов

Как геометрические соображения помогают понять свойства решений дифференциальных уравнений. С этим и связаны слова «то решаем, то рисуем» в названии лекции. Рассмотрено несколько физических примеров. На максимально упрощённом уровне рассказано о некоторых достижениях XX века, включая понимание механизма возникновения «хаоса» в поведении детерминированных объектов.

Дмитрий Аносов

Из курса математического анализа известно, что если функция имеет n производных, то n-я производная может даже не быть непрерывной; если функция имеет все производные, то она может все-таки не разлагаться в ряд Тейлора: он может расходиться или сходиться к другой функции. Удивительная особенность функций комплексного переменного состоит в том, что одна только дифференцируемость функции во всех точках ее области определения обеспечивает, что функция имеет все производные и разлагается в ряд Тейлора. Этот факт доказывается с использованием интегрального исчисления функций комплексного переменного, хотя по своей форме он относится к дифференциальному исчислению. В лекциях будет предложено другое доказательство того же факта. Оно обходится без специфического комплексного интегрирования и вообще опирается на “вещественные” сведения.

Дмитрий Аносов

Лекции читает Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 16-18 июля 2002 г.

Виктор Клепцын

Лекцию читает Клепцын Виктор Алексеевич. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 29 июля 2017 г.

Наталия Гончарук

В каждой точке плоскости нарисуем вектор. Получилось векторное поле. Будем считать, что по плоскости течёт вода, а векторы - её скорости течения в разных точках. Теперь бросим в воду несколько щепок и нарисуем траектории их движения. Получится фазовый портрет векторного поля. По картинке стало видно, что происходит со щепками: некоторые приближаются к внешнему предельному циклу, от другого цикла все щепки отдаляются. Куда ещё могут накапливаться траектории щепок (теорема Пуанкаре-Бендиксона). Как ещё могут быть устроены фазовые портреты. Также мы обсудим бифуркации: перестройки фазовых портретов, когда векторное поле слегка меняется. Будут свежие результаты и открытые вопросы.

Юлий Ильяшенко

Как менялись наши представления об аттракторах? Чего мы ожидаем от аттракторов? Предполагается, что слушатели знают определение и свойства компактных множеств в евклидовом пространстве, а также знакомы с определениями и примерами гомеоморфизмов и диффеоморфизмов. Последние определения будут даны в курсе, но лучше знать их заранее.

Фрактальність хаосу

Динамічний (детермінований) хаос і фрактали – поняття, що ввійшли в наукову картину світу порівняно недавно, лише в останній чверті ХХ століття. З тих пір інтерес до них не згасає не тільки в колі фахівців – фізиків, математиків, біологів і т.д., але і серед людей, далеких від науки. Дослідження, пов"язані з фракталами і детермінованим хаосом, змінюють багато звичних уявлень про навколишній світ. Причому не про світ мікрооб"єктів, де око людини безсиле без спеціальної техніки, і не про явища космічного масштабу, а про найзвичайніші предмети: хмари, річки, дерева, гори, трави. Фрактали змушують переглянути наші погляди на геометричні властивості природних і штучних об"єктів, а динамічний хаос вносить радикальні зміни до розуміння того, як ці об"єкти можуть вести себе в часі. Розроблені на основі цих понять теорії відкривають нові можливості в різних галузях знань.

Нерідко те, шо ми спостерігаємо в природі інтригує нас нескінченним повторенням того ж узору, збільшеного чи зменшеного в декілька разів. Наприклад, у дерев є гілки. На цих гілках є менші гілки і т.д.. Теоретично, елемент "розгілчення" повторюється багато разів, все зменшуючись. Те ж можна помітити, дивлячись на фото гірського рельєфу. Спробуйте дещо наблизити зображення гірського пасма – і знову побачимо гори. Наблизимо картинку ще ближче – ми й далі бачитимемо те, що нагадує гори, завдяки нашому вмінню розрізняти об"єкти на малюнку. Так проявляється характерна для фракталів самоподібність.

Тому можна сказати, що динамічний хаос не є таким хаосом, він має певну структуру, зокрема фрактальну структуру.

Зі школи ми вчили, що одиниця менше двох, а два менше трьох і т.д.:

1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

А найбільшого числа – немає і не може бути. Проте, в хаотичній динаміці все йде інакше. Найменше число – 3. Найбільше – існує і рівно... 1. А решта чисел розташовані між ними в досить дивному порядку – "порядку Шарковського":

3 < 5 < 7 < 9 < ... < 2*3 < 2*5 < 2*7 ... < 2 2 *3 < 2 2 *5 < 2 2 *7 ... < 2 3 *3 < 2 3 *5 < 2 3 *7 ... ... < 2 n < 2 n –1 ... < 2 < 1

Спочатку йдуть всі непарні числа, потім всі непарні, помножені на 2, потім – на 4, і так далі Після нескінченної множини таких нескінченних "секцій" стоїть секція степенів двійки, поставлених в зворотному порядку.

Теорема Шарковського. Якщо безперервне відображення одновимірного інтервалу в себе має цикл періоду m, то воно має також і цикли всіх періодів m", передуючих числу m у переліку всіх цілих чисел, виписаних в порядку Шарковського.

Моделлю багатьох видів хаотичної поведінки є ітераційні процеси, пов"язані з простими функціями, залежними від однієї змінної. Візьмемо яку–небудь функцію f(x). Виберемо яке–небудь початкове значення x0. І стежитимемо за тим, як поводиться послідовність x 0 , x 1 = f(x 0), x 2 = f(x 2) ..., x n+1 = f(x n). Такі процеси часто виникають в чисельних розрахунках, при вирішенні рівнянь, але в цьому випадку ми самі контролюємо рух послідовності. А якщо простежити за тим, як вони поводяться "на волі"? Наприклад, які з них через деякий час повертаються в початкове положення, утворюючи цикли?

Що ж з"ясовується? Деякі "ікси" нікуди не йдуть – це нерухомі точки, або цикли періоду 1 (це та сама одиниця, яка найбільша в порядку Шарковського). Для таких іксів x 0 = f(x 0), і ніякої динаміки не виникає. Наприклад маємо функцію f(x)=1–x, поклавши x 0 =0,5 ми отримаємо: x 1 = f(x 0) = 1–x 0 = 1–0,5 = 0,5 = x 0 . Аналогічна ситуація складеться, коли рахуватимемо x 2 , … , x n–1 , x n . Трохи складніші цикли мають період, або довжину 2: при другому застосуванні f(x) ми повертаємося туди, звідки почали: x 1 = f(x 0), x 0 = f(x 1). Візьмімо ту ж функцію f(x)=1 – x. Отже, x 1 = f(x 0) = 1 – x 0 , x 2 = f(x 1) = 1 – x 1 = 1 – (1 – x 0) = x 0 . Як з’ясувалось при кожному наступному пошуку значення функції ми потраплятимемо або в x 0 або в x 1 . Як було показано вище, ця ж функція має цикл періоду 1(при значенні x=0,5). Можуть бути цикли будь–якої довжини, але якщо є цикл довжини 4, то обов"язково є цикли довжини 2 і 1. До того ж, якщо є цикл довжини k, то обов"язково є і цикли всіх довжин, що стоять правіше k в порядку Шарковського.

Тепер пригадаємо про трійку. Вона стоїть найлівіше. Значить, якщо існує цикл довжини 3, то є і цикли будь–якої довжини. Тобто, якщо хоч одна точка крутиться по орбіті завдовжки рівно 3, то є інша точка, яка крутиться по орбіті завдовжки, наприклад, 45654, ще одна – по орбіті довжини 56456169546 і так далі... А що це, як не хаос! Лі і Йоркв 1975 році так і назвали свою статтю: "Період 3 викликає хаос". Це абсолютно універсальний факт, він не залежить від того, яку функцію f ми візьмемо!

Алексей Брониславович СОСИНСКИЙ,

старший научный сотрудник института проблем механики РАН, проректор по международным связям Независимого московского университета.

Узлы и косы

Узел можно представлять себе как тонкую запутанную верёвку в пространстве, концы которой соединены. Простейший - тривиальный - узел вы видите на рисунке а). На рисунках б) и в) изображены нетривиальные узлы - соответственно, трилистник и восьмёрка.

Развязать узел - значит деформировать его, не разрывая, в тривиальный узел. Например, узел рисунка г) развязать можно, а восьмёрку или трилистник - нельзя.

Косой из n нитей называют набор из n попарно непересекающихся «восходящих» ломаных в пространстве, соединяющих точки A 1 , ..., A n с точками B 1 , ..., B n (в произвольном порядке). Пример косы из трёх нитей показан на рисунке д).

Лекция 2 (21) 14.10.2000.

Семеон Антонович БОГАТЫЙ,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей топологии и геометрии мехмата МГУ.

Теорема Шарковского

Пусть f (x) = 1 – x . Тогда f (f (x)) = 1 – (1 – x) = x , причём f (1/2) = 1/2, и равенство f(x) = x выполнено только при x = 1/2. Точку 1/2 называют неподвижной точкой отображения f (или точкой периода 1), а все остальные точки - точками периода 2.

Вообще, для функции f (x) можно рассмотреть её итерации f (f (x)), f (f (f (x))), f (f (f (f (x)))),... и спросить себя, существуют ли числа x , для которых, например, f (f (f (x))) = x (точки периода 3). Теорема украинского математика Шарковского (1964) утверждает, что если упорядочить натуральный ряд некоторым специальным образом (как именно - объяснено ниже), то для любого натурального числа n , для любого натурального числа m , расположенного в рассматриваемом упорядочении правее, чем n , и для любого непрерывного отображения f прямой в себя, обладающего точкой периода n , отображение f будет обладать и точкой периода m .

Упорядочение натурального ряда, используемое в теореме Шарковского, устроено так:
сначала идут нечётные числа 3, 5, 7, 9, ...;
затем нечётные числа, умноженные на два: 6, 10, 14, 18, ...;
затем нечётные числа, умноженные на четыре: 12, 20, 28, 36, ...;
затем нечётные числа, умноженные на восемь: 24, 40, 56, 72, ...;
...,
наконец, степени двойки: ..., 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Доказательство теоремы опирается на теорему о среднем значении непрерывной функции и состоит в поиске периодической точки замкнутых путей в ориентированном графе.

Борис Петрович ГЕЙДМАН,

Площади многоугольников

Лекция посвящена вычислению площадей прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции и других многоугольников.

Были рассмотрены решения двадцати задач, сгруппированных вокруг следующих вопросов:

• равновеликость и равносоставленность;
• медиана делит треугольник на две части равной площади;
• разрезания треугольника и выпуклого четырёхугольника на равновеликие части.

Эрнест Борисович ВИНБЕРГ,

профессор кафедры алгебры мехмата МГУ.

Симметрия многочленов

Как и плоские фигуры или пространственные тела, многочлены могут быть симметричны. Тип симметрии какого-либо объекта определяется набором (группой) преобразований, которые его сохраняют. Например, так называемые симметрические многочлены - это многочлены, не меняющиеся ни при какой перестановке переменных. Всякий симметрический многочлен от двух переменных x , y можно представить в виде многочлена от x + y и xy , а всякий симметрический многочлен от трёх переменных x , y , z - в виде многочлена от x + y + z , xy + yz + zx и xyz .

Многочлен x 2 + y 2 + z 2 не меняется не только при перестановках переменных, но и при любых вращениях пространства. Можно доказать, что всякий многочлен с такой симметрией представим в виде многочлена от x 2 + y 2 + z 2 .

Было рассказано о том, как описывать многочлены с данным типом симметрии, какие проблемы здесь возникают (например, 14-я проблема Гильберта).

Лекция 5 (24) 4.11.2000.

Сабир Меджидович ГУСЕЙН-ЗАДЕ,

профессор мехмата МГУ.

Можно ли причесать ежа?

Можно ли сдвинуть блин на сковородке так, чтобы никакая его точка не осталась на месте? Почему нельзя причесать ежа? На эти и на многие другие вопросы можно ответить, пользуясь индексом вращения - одним из важных понятий топологии.

Любую определённую на отрезке непрерывную функцию можно непрерывно продеформировать в любую другую (определённую на том же отрезке) непрерывную функцию. Оказывается, если множество аргументов и множество значений отображения - окружности, то аналогичное утверждение не имеет места. Более того, непрерывному отображению окружности в окружность можно сопоставить целое число - индекс вращения. Если индексы вращения двух отображений различны, то отображения негомотопны, то есть их нельзя продеформировать одно в другое. Если же индексы равны, то можно. Индексу вращения и некоторым его приложениям посвящена эта лекция.

Владимир Георгиевич СУРДИН,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Государственного астрономического института имени П.К. Штернберга (ГАИШ МГУ).

Динамика звёздных систем

Лекция будет состоять из двух частей. Первая посвящена изучению звёздных систем, состоящих из математических (идеальных) звёзд - точек, взаимодействующих по законам Ньютона и не меняющих свои массы.

Вторая часть посвящена физическим (реальным) звёздам, способным изменять форму, размер и массу. Эта задача более сложна и требует современных высокоскоростных компьютеров для изучения эволюции звёздных систем.

План лекции:
I. Математические звёзды: одна звезда и ее свита; двойные и кратные звёзды; одна среди равных (звезда в галактике); звёздные скопления; звёздные ассоциации.
II. Физические звёзды: звезда меняет массу (аккреция и звёздный ветер); звёзды обмениваются массой (тесные двойные системы); звезда меняет форму (приливные деформации); звезда, окруженная диском; звёздный мир в компьютере.

Лекция 7 (26) 18.11.2000.

Михаил Васильевич СМУРОВ,

доцент кафедры общей топологии и геометрии мехмата МГУ, член методической комиссии Всероссийской математической олимпиады.

Почему похожи теоремы о вписанном и описанном четырёхугольниках?

Четырёхугольник является вписанным (описанным) тогда и только тогда, когда суммы величин (длин) его противоположных углов (сторон) равны. Прояснить связь этих теорем евклидовой геометрии поможет сферическая геометрия. Оказывается, хотя сумма углов сферического четырёхугольника больше 360°, признак вписанности в окружность тот же самый: суммы противоположных углов должны совпадать.

А теорема об описанном четырехугольнике в сферической геометрии является прямым следствием теоремы о вписанном четырёхугольнике. Точнее, эти две теоремы двойственны. Что означает последнее слово, вы узнаете на лекции. Будут приведены и другие примеры двойственных утверждений.

Лекция 8 (27) 25.11.2000.

Владимир Николаевич ЧУБАРИКОВ,

профессор кафедры математического анализа мехмата МГУ.

Простые числа

С простыми числами связаны многие теоремы и проблемы арифметики, столетиями не поддающиеся решению. В последнее время большие простые числа нашли неожиданные и разнообразные применения.

Будут даны некоторые общие критерии простоты чисел, описаны некоторые классы простых чисел, доказан постулат Бертрана. Предполагается также сформулировать асимптотический закон распределения простых чисел, рассказать о методе решета и проблеме Гольдбаха.

Владимир Игоревич АРНОЛЬД,

академик РАН.

Цепные дроби

Цепная дробь - это выражение вида
a 0 + 1 / (a 1 + 1 / (a 2 + 1 / (a 3 + ... .
Теория цепных дробей связана с теорией приближения вещественных чисел рациональными числами, с теорией динамических систем, а также со многими другими разделами математики.

На лекции было рассказано о связи цепных дробей с геометрией выпуклых многоугольников. Это связано с тем, что цепная дробь периодична в тех и только тех случаях, когда выражаемое ею число является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами. Было рассказано также о том, насколько часто среди элементов a 1 , a 2 , a 3 , ... цепной дроби, выражающей произвольное вещественное число, встречается единица (двойка, тройка, ...). Оказывается, почти для всех вещественных чисел доля единиц больше доли двоек, которая больше доли троек, и т.д.

Лекция 10 (29) 9.12.2000.

Александр Васильевич МИХАЛЁВ,

проректор МГУ, заведующий лабораторией вычислительных методов, профессор кафедры алгебры мехмата МГУ.

Теория групп в математике

Было рассказано о возникновении понятия группы в математике, об элементах теории групп и о применении теории групп в алгебре, теории чисел, геометрии и естествознании.

Лекция 11 (30) 16.12.2000.

Иджад Хакович САБИТОВ,

доцент кафедры математического анализа мехмата МГУ, доктор физико-математических наук (доказавший постоянство объёма многогранника при его изгибании), лауреат премии имени Н.И. Лобачевского.

Суммы углов, площади и деформации замкнутых ломаных

Многоугольниками называют замкнутые ломаные без самопересечений. Для многоугольников в школьном курсе геометрии изучают такие характеристики, как сумма углов и площадь. Было рассказано, как определить суммы углов и площади для замкнутых ломаных с произвольными самопересечениями, как их вычислять и как они меняются при деформации ломаной. Был рассмотрен и ряд других задач геометрии замкнутых ломаных.

Александр Рафаилович ЗИЛЬБЕРМАН,

учитель физики лицея «Вторая школа», член редколлегии журнала «Квант» (ведущий раздела физики «Задачника "Кванта"») , составитель всех прошедших шести физических соросовских олимпиад, многолетний тренер команд СССР (ныне России) к Международным физическим олимпиадам.

Обращённая тепловая машина

Мы обсудим обратимые и необратимые процессы, проводимые с разреженными газами, поговорим о циклических процессах и об их использовании в тепловых машинах. Далее разговор пойдет про «обращённый» цикл - его часто называют «холодильным». Мы разберёмся с тем, как можно затратить 100 джоулей работы и получить при этом 1000 джоулей тепла, обсудим вопрос о том, может ли тепло перетекать от холодного тела к горячему, постараемся понять, как этот сложный вопрос решает холодильник, поговорим о теоремах Карно, выясним, почему самый лучший на свете цикл Карно никто не применяет на практике, а также обсудим многие другие вопросы.

Лекция 13 (32) 10.02.2001.

Юлий Александрович ДАНИЛОВ,

старший научный сотрудник Российского Научного Центра «Курчатовский институт», переводчик на русский язык книг Гарднера, Кеплера, Галилея, Эйнштейна, Пуанкаре, Паули, Кирхгофа, Гильберта, Тьюринга и Гейзенберга.

Квазикристаллы

Это новый класс твёрдых тел, полученный при поиске новых материалов в программе СОИ (стратегическая оборонная инициатива США). Экспериментаторам удалось попасть в очень узкую «температурную щель» и получить материалы с необычными новыми свойствами. Квазикристаллы обладают парадоксальной с точки зрения классической кристаллографии структурой, предсказанной из теоретических соображений (мозаики Пенроуза).

Теория мозаик Пенроуза позволила отойти от привычных представлений о фёдоровских кристаллографических группах (основанных на периодических заполнениях пространства).

Валентин Анатольевич СКВОРЦОВ,

профессор кафедры теории функций и функционального анализа мехмата МГУ.

Примеры метрических пространств

Математики часто рассматривают множества, между элементами («точками») которых определено расстояние (метрика). Такие множества называют метрическими пространствами, если выполнены следующие аксиомы: расстояние d (x , y) между любыми точками x и y неотрицательно, причём d (x , y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y ; метрика симметрична, то есть d (x , y) = d (y , x); наконец, d (x , y) ≤ d (x , z) + d (z , y) для любых трёх точек x , y , z (неравенство треугольника).

Существует много разных способов определить расстояние в разных множествах. Можно измерять расстояние между кривыми, множествами, функциями и т.п. Например, расстоянием между двумя определёнными на отрезке непрерывными функциями можно назвать максимум модуля разности этих функций (впрочем, иногда ее рассматривать другие определения расстояния). В теории кодов рассматривают метрику на множестве слов и применяют её для автоматического исправления ошибок при передаче информации.

Многие метрические пространства разительно отличаются от привычной евклидовской плоскости. Например, для любых точек x , y , z может выполняться неравенство d (x , y) ≤ max(d (x , z), d (z , y)). Такие пространства называют неархимедовыми. В них все треугольники равнобедренные, а любая внутренняя точка круга является его центром.

Пример неархимедовой метрики - p -адическая метрика d (x , y) = p – k , где p - простое число, x , y - различные рациональные числа, k - такое целое число, что x – y = p k · (m / n) и целые числа m и n не делятся на p . Числа тем ближе друг в смысле p -адической метрики, чем на большую степень числа p делится их разность. Подобно тому как снабжённое обычной архимедовой метрикой множество рациональных чисел Q можно пополнить до множества вещественных чисел, его (Q ) можно пополнить и по p -адической метрике, получив поле p -адических чисел, которое широко применяют в арифметике и алгебре.

Владимир Михайлович ТИХОМИРОВ,

профессор кафедры ОПУ мехмата МГУ, заместитель главного редактора журнала «Квант», автор книги «Рассказы о максимумах и минимумах».

Экстремумы функций одной переменной

Есть много важных причин, которые побуждают людей довать задачи на максимум и минимум (экстремальные задачи). Первые задачи на экстремум были решены в античной древности Евклидом, Архимедом и другими. В XVII веке выяснилось, что большинство явлений природы могут быть объяснены с помощью рассмотрений задач на экстремум.

В том же столетии появились первые общие приёмы решения таких задач. Будет рассказано об этих приёмах и на их основе будут решены некоторые задачи геометрии (Евклида, Кеплера, Ферма), объяснены некоторые механические и оптические явления, исследованы некоторые задачи, возникающие в технике.

Лекция 16 (35) 3.03.2001.

Виктор Иванович ГОЛУБЕВ,

cтарший научный сотрудник института микропроцессорных вычислительных систем (ИМВС РАН), соавтор книги «Факультативный курс математики. Решение задач. 11 класс», автор брошюры «Эффективные пути решения неравенств».

Решение уравнений и неравенств

Были продемонстрированы малоизвестные, эффективные и доступные широкой аудитории школьников 9–11 классов приёмы и методы решения уравнений и неравенств (в том числе с параметром). Овладение подобными приёмами и методами позволяет школьнику сэкономить силы и время на вступительных экзаменах и тем самым повысить свои шансы.

Иджад Хакович Сабитов,

доктор физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа мехмата МГУ, лауреат международного конкурса им. Н.И. Лобачевского.

Объёмы многогранников

С древних времён известна формула Герона S 2 = p (p – a)(p – b)(p – c), выражающая площадь треугольника S через длины его сторон. Лекция посвящена её обобщению, позволяющему вычислять объём многогранника по рёбрам и диагоналям граней. Отправной точкой послужит формула, выражающая объём тетраэдра через длины его рёбер. Эту формулу можно найти во всех солидных справочниках по математике, но мало кто знает её историю. На лекции будет рассказано об авторах этой формулы (Тарталья и Эйлере) и разобраны её доказательства - как оригинальные, так и современные.

Будет введён класс многогранников, объёмы которых можно вычислять, опираясь только на формулу для объёма тетраэдра. В заключение будет сформулирована теорема, обобщающая формулу объёма тетраэдра на любые многогранники и дающая, как простое следствие, неизменность объёма изгибаемого многогранника (изгибанием называют акую непрерывную деформацию многогранника, в ходе которой меняется хотя бы один его двугранный угол, но грани перемещаются как твёрдые пластинки, то есть без какого-то бы ни было изменения их формы).

Лекция 18 (37) 17.03.2001.

Александр Николаевич КАРПОВ,

Канторово совершенное множество

Один из наиболее замечательных объектов, изучаемых в математическом анализе - канторово совершенное множество. Оно получается выбрасыванием из отрезка бесконечного множества интервалов. На первом этапе выбрасываем один интервал: (1/3; 2/3). Затем - два интервала: (1/9; 2/9) и (7/9; 8/9). Далее выбрасываем четыре интервала: (1/27; 2/27), (7/27; 8/27), (19/27; 20/27) и (25/27; 26/27). Вообще, на каждом следующем этапе мы делим каждый отрезок, из которых состоит к этому моменту множество, на три равные части и выбрасываем средние из этих частей.

С помощью канторова множества удаётся строить удивительные примеры. Один из них - канторова лестница. Она является непрерывной функцией, обладающей на первый взгляд несовместимыми свойствами: эта функция непрерывна на отрезке , постоянна почти во всех его точках, но не является постоянной функцией.

Другим примером, который будет подробно разобран на лекции, является следующая задача. Из точки 0 в точку 1 по числовой прямой движутся заяц и черепаха. Они одновременно выходят из нуля, никогда не стоят на месте (скорость в каких-то точках пути может быть равна нулю, но время пребывания в таких точках также должно быть нулевым) и не поворачивают обратно. Может ли так быть, чтобы для каждой точки пути скорость зайца в момент прохождения этой точки была не меньше, чем скорость черепахи в момент прохождения этой точки, но черепаха пришла в единицу раньше, чем заяц? Ответ: такое возможно!

Лекция 19 (38) 24.03.2001.

Олег Рустумович МУСИН,

кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник географического факультета МГУ, автор многих олимпиадных задач, член жюри Всероссийской олимпиады.

Диаграммы Вороного и триангуляции Делоне

В последние десятилетия в научных и научно-популярных статьях и книгах все чаще стали появляться имена двух замечательных отечественных математиков Г.Ф. Вороного (1868–1908) и Б.Н. Делоне (1890–1980). Вклад этих ученых в теорию чисел и геометрию значителен и хорошо известен специалистам. Но их имена стали особенно популярными не в среде «чистых» математиков, а среди исследователей, использующих приложения геометрии в самых различных областях науки и техники.

Будет рассказано, что такое диаграмма Вороного и триангуляция Делоне, обсуждены их свойства и приложения к вычислительной геометрии. Практически все доказательства проводятся в рамках школьной геометрии (редкий случай, когда можно получать серьёзные результаты в современной науке, используя только элементарную математику!). Некоторые связанные с темой лекции задачи (например, о пустых и полных окружностях) появлялись на математических олимпиадах школьников.

Целый ряд теорем (о среднем радиусе, гармоническом индексе, минимальной поверхности) был впервые доказан лектором и опубликован в специальной литературе. Были формулированы некоторые нерешённые математические проблемы.

Лекция 20 (39) 31.03.2001.

Геннадий Иванович ШИРМИН,

кандидат физико-математических наук, доцент физического факультета МГУ.

Динамическая астрономия

Динамическая астрономия - это раздел астрономии, занимающийся иссследованием движений небесных тел (поступательных, вращательных). Из методов динамической астрономии, которые позволяют определять орбиты небесных тел по даннным астрономических наблюдений, возникла почти вся прикладная и вычислительная математика.

Основные вопросы, которые будут обсуждены на лекции, таковы: возникновение динамической астрономии, астрометрия как наблюдательно-экспериментальная база динамической астрономии, небесная механика как совокупность теоретических методов исследования движений небесных тел, определение орбит, вычисление эфемерид, прогнозирование движений небесных тел, устойчивость солнечной системы, астероидная опасность, проверка всемирности закона всемирного тяготения.

Лекция 21 (40) 7.04.2001.

Александр Николаевич КАРПОВ,

кандидат физико-математических наук, заместитель директора Малого мехмата МГУ, учитель математики лицея «Вторая школа».

Избранные задачи

В первой части лекции были рассмотрены две классические задачи, использующие расходимость гармонического ряда, второй - две задачи А.В. Шаповалова о лабиринтах.

Планировалось, что лекцию 7.04.2001 прочитает С.И. Токарев на тему «Мои любимые задачи», но лектор (живущий в Иваново) не смог приехать и лекция была заменена.

Лекция 22 (41) 14.04.2001.

Сергей Владимирович КОНЯГИН,

Проверка простоты чисел и малая теорема Ферма

Задача определения того, является ли данное большое целое число простым, всегда привлекала внимание математиков. Долгое время считалось, что она имеет лишь теоретический интерес. Однако несколько десятков лет назад стало ясно, что построение больших простых чисел важно для защиты информации. В лекции будет рассказано:

• как можно проверить, что большое число является составным, не найдя при этом ни одного его собственного делителя;
• как проверить, что большое число является простым, затратив не слишком много времени;
• кому и зачем нужны большие простые числа?

Лекция 23 (42) 21.04.2001.

Алексей Александрович ЗАСЛАВСКИЙ,

старший научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН, учитель гимназии № 1543.

Теорема Понселе

Теорема Понселе - одна из самых сложных и красивых теорем элементарной геометрии. Она утверждает, что если некоторый n -угольник вписан в окружность и описан около другой окружности, то можно зафиксировать эти окружности и «вращать» между ними многоугольник так, что его вершины будут все время лежать на одной окружности, а стороны касаться другой (форма многоугольника при этом может меняться и довольно существенно).

Оказывается, такой «вращающийся» многоугольник Понселе обладает многими интересными свойствами: например, его центр тяжести описывает окружность, а центр тяжести точек касания его сторон со вписанной окружностью неподвижен.

Будут рассказаны результаты, полученные в соавторстве с Г.Р. Челноковым. Некоторые из них можно доказать элементарными средствами. Для доказательства других приходится привлекать значительно более мощный и сложный аппарат алгебраической геометрии.

Лекция 24 (43) 28.04.2001.

Валерий Борисович АЛЕКСЕЕВ,

заведующий кафедрой математической кибернетики факультета ВМК МГУ, профессор.

Теорема Абеля

В 1976 году издательство «Наука» выпустило книгу В.Б. Алексеева «Теорема Абеля в задачах и решениях». Книга рассказывает о группах перестановок, комплексных числах, римановых поверхностях алгебраических функций. Дан вывод формул Кардано для решения уравнений третьей степени, формул Феррари для уравнений четвёртой степени, а также доказано, что уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах.

В 2001 году издательство МЦНМО переиздало эту книгу, являющуюся одной из лучших популярных книг по математике, созданных в XX веке. И хотя книга настолько содержательна, что трудно рекомендовать эту книгу школьнику младше 10 класса, но любому, кто собирается сколько-нибудь серьёзно заняться математикой, эта книга в высшей степени полезна.

УДК 515.16

ТЕПЛЯКОВ Вячеслав Васильевич, доцент кафедры методики преподавания математики института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова. Автор 11 научных публикаций, в т. ч. одного учебного пособия

ВОКРУГ ТЕОРЕМЫ ШАРКОВСКОГО

В статье приводится схема построения примеров, показывающих, что для любого натурального числа р существует непрерывное отображение £: I ^ I, которое имеет период р и не имеет периодов, предшествующих этому р в порядке Шарковского.

Ключевые слова: Орбита, период, цикл, порядок Шарковского, удвоение периода.

Советский математик А.Н. Шарковский в 1964 году обнаружил удивительное явление в одномерной динамике, связанное со взаимоотношениями длин орбит периодических точек . Оказалось, например, что наличие орбиты длины 3 неизбежно влечет существование орбит всех остальных длин, а наличие орбиты длины 4 гарантирует только существование орбит длины 2 и 1, появление орбиты длины 6 влечет наличие орбиты любой четной длины и т. д.

В нашей работе мы, в частности, показываем, что существуют отображения с орбитами длины 6, не имеющие никаких орбит нечетной длины.

Теперь перейдем к точным формулировкам. Пусть имеется непрерывное отображение £:

I ^ I, где I с R - некоторый отрезок. Орбитой точки х0 е I называется множество 0(х0) = = £”(х0) | п = 1, 2,...}, где /п = £ °/°--°£■ Точка

© Старостина В.В., Тепляков В.В., 2013

х0 называется периодической, если существует п е N такое, что £ п(х0) = х0. Наименьшее такое п называется периодом точки х0, т. е. период точки - это длина ее орбиты (или количество точек в орбите). Конечную орбиту называют еще циклом. Формулировка теоремы Шарковского становится наиболее выразительной, если ввести новый порядок в множестве натуральных чисел, отличный от стандартного. Этот новый линейный порядок в N отражает найденную Шарковским зависимость между длинами орбит точек и называется порядком Шарковского:

3 > 5 > 7 > 9 > ... > 2к+1 >

2-3 > 2-5 > 2-7 > 2-9 > ... > 2-(2к+1) >

22 -3 > 22 - > 2 2 >

2т - > 2т ■ 5 >

2 п > 2 п-1 > > 22 > 21 > 1,

СТАРОСТИНА Вера Валерьевна, аспирант кафедры математического анализа института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова

где р а,)^- читается как щ следует за р» или «р предшествует q». Таким образом, в первой строке стоят все нечетные числа в указанном порядке, за ними следуют они же, умноженные на 2. Каждая следующая строчка получается из предыдущей умножением на 2. И, наконец, в последней строчке идут чистые степени двойки в убывающем порядке.

Теорема Шарковского. Пусть I - отрезок на числовой прямой, а£: I ^ I - непрерывное отображение. Если £ имеет точку периода р и р 0

С доказательством теоремы Шарковского можно познакомиться в недавно переведенной на русский язык монографии , но наиболее подробное и понятное доказательство изложено в дипломной работе В.В. Старостиной, с которым можно ознакомиться на кафедре алгебры и геометрии института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова.

В нашей статье приводится схема построения примеров, показывающих, что для любого натурального числа р существует непрерывное отображение £ I ^ I, которое имеет период р и не имеет периодов, предшествующих этому р в порядке Шарковского.

Построим непрерывное отображение £ ^ , имеющее период 5, но не имеющее периода 3.

Пусть £ задано в точках 1, 2, 3, 4, 5 следующим образом:

£(1) = 3; £(2) = 5; £(3) = 4; £(4) = 2; £(5) = 1, а на промежуточные отрезки распространено по линейности (рис. 1). Заметим, что орбита точки х = 1 имеет вид 1, 3, 4, 2, 5, 1, ..., т. е. £ обладает периодом 5. Нарисуем графики £, £ 2 и £ 3 и покажем, что не существует орбиты периода 3 (рис. 1).

Получаем, что уравнению £ 3(х) = х удовлетворяет только неподвижная точка построенного отображения£(х), значит, орбит длины 3 нет.

Построим непрерывное отображение £ ^ , имеющее период 7, но не имеющее периода 5 и периода 3.

Пусть £ задано в точках 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 следующим образом:

£(1) = 4; £(2) = 7; £(3) = 6; £(4) = 5; £(5) = 3; £(6) = 2; £(7) = 1,

а на промежуточные отрезки распространено по линейности (рис. 2). Заметим, что орбита точки х = 1 имеет вид 1, 4, 5, 3, 6, 2, 7, 1, ..., т. е. £ обладает периодом 7. Нарисуем графики £, £ 3 и £ 5 и покажем, что не существует орбиты периода 5 и орбиты периода 3 (рис. 2).

На последнем графике видно, что решением уравнения £ 5(х) = х является только неподвижная точка. Значит, точек предыдущих периодов нет.

Рис. 2. Пример отображения, имеющего все периоды, кроме 3 и 5

Пример 3 а на промежуточные отрезки распространено по

Построим непрерывное отображение £ ^ , имеющее период 9, но не имеющее х = 1 имеет вид 1, 5, 6, 4, 7, 3, 8, 2, 9, 1, ..., т. е. £

периодов 7, 5 и 3. обладает периодом 9. Нарисуем графики/ £3, £5 и

Пусть £ задано в точках 1 2 3 4 5 6 7 8 9 £7 и покажем, что не существует орбиты периода

следующим образом: 7, орбиты периода 5 и орбиты периода 3 (рис. 3).

/(1) = 5; £(2) = 9; £(3) = 8; £(4) = 7; £(5) = 6; На последнем графике видно, что решени-

£(6) = 4; £(7) = 3; А8) = 2; £(9) = 1 ем уравнения £7(х) = х является только непод-

вижная точка. Значит, точек предыдущих периодов нет.

Напрашивается общая идея построения дальнейших примеров для первой строки порядка Шарковского: в целочисленных узлах £ принимает значения согласно схеме (рис. 4), и определена как линейная функция на промежуточных точках.

Для всякого непрерывного отображения £ ^ найдется непрерывное отображение л(л) -> , периоды которого равны удвоенным периодам отображения £ и еще период 1.

Доказательство

Пусть задано произвольное непрерывное

Рис. 4. Схема построения примеров для первой строки порядка Шарковского

Или, другими словами, чтобы построить непрерывное отображение £: ^ , имеющее период р = 2п + 1, у которого нет всех периодов, предшествующих р, достаточно взять решетку 2п х 2п и задать £ на целочисленных точках следующим образом: р + 1

£(1) = 2 ; £ (2) = р; £ (3) =р - 1; £(4) =р - 2; ...;

£^ ^) = р-1 ;£^) = р-3;

£ р+7) = р-5 ; . . . ;£ р + р) = £р) = 1,

2 2 2 а между этими точками отображение £ распространено по линейности.

Теперь рассмотрим процедуру удвоения периода.

Под удвоением периода мы понимаем переход от отображения £ к новому отображению а(периоды которого - это в точности удвоенные периоды отображения £ и еще период 1.

отображение£: ^ . Зададим отображение £ следующей формулой:

х-----, если х е

и продолжим это отображение на отрезок линейным образом (рис. 5). Пусть для наглядности отображение £ имеет график, представленный на рис. 5а, тогда отображение £ имеет график, представленный на рис. 5б.

Покажем, что отображение £ на отрезках имеет периодические точки, пери-

оды которых равны удвоенным периодам точек отображения £, а на отрезке

периодиче-

ских точек нет, кроме неподвижной.

Рис. 5. Пример удвоения периода, тогда £ (х) = 2 + £ (3х) по

формуле (1). Учитывая, что / (х) принадлежит, то

£ (£ (х)) = £

2 + £ (3х))_(2 + £ (3х) 3

Сделав замену переменной, получим

7-2 (х ^ £(х)

2 I з" ] = 3^"’ Из этого равенства следует, что если у отображения £ имеется орбита длины п, то у £ появляется орбита длины 2п, располо-

(см. лестницу

женная на отрезках Ламерея на рис. 5б).

Аналогично рассматривается случай, когда точка х0 е

Наконец, если х0 е

Отображение £

не имеет других периодических точек, кроме единственной неподвижной. Это легко увидеть

на рис. 5б: на лестнице Ламерея видно, что ор-

бита любой точки х0 е

не содержит дру-

гих точек отрезка

отрезков 0,- 3 и,1 3

, (она состоит из точек

и самой точки х0).

Таким образом, отображение £ удваивает

периоды отображения £.

Построим непрерывное отображение £: ^ , имеющее период 2, но не имеющее периода 4.

Пусть £ задано в точках 0, 1 следующим образом:

и определено как линейная функция между этими точками.

Тогда отображение £: ^ можно задать следующим образом: £(х) = 1 - х.

Заметим, что орбита точки х = 1 имеет вид 1, 0, 1, ., т. е. £ обладает периодом 2. Покажем, что не существует точки периода 4.

£ 2(х) = 1 - (1 - х) = х, таким образом, все точки отрезка удовлетворяют уравнению £ 2(х) = х. Следовательно, все точки отрезка имеют орбиту длиной

не больше 2 (только у точки х = длина орбиты 1 2 равна 1, т. к. х = - неподвижная точка отобра-

жения £). А это означает, что непрерывное отображение £ ^ не имеет периода 4.

Построим непрерывное отображение £: ^ , имеющее период 4, но не имеющее периода 8. (Это будет означать, что нет и остальных периодов, предшествующих 8 в порядке Шарковского. Так как иначе, если бы отображение £ имело бы какой-то из этих периодов, то, по теореме Шарковского, у £ существовала бы периодическая точка периода 8).

Воспользуемся результатом примера 4, в котором было построено непрерывное отображение £ ^ , заданное формулой £х) = 1 - х, имеющее только период 2 (и период 1 у неподвижной точки), и применим опи-

санную выше в лемме процедуру удвоения периода к этому отображению:

1 - х, если х е

х-, если х е

и продолжим это отображение на отрезок

по линейности (рис. 6).

Построенные на этом рисунке графики отображений £, £ 2, £3, £4 и £ 8позволяют сделать вывод, что уравнение £ 8(х) = х не имеет других решений, кроме тех, что и уравнение £ 4(х) = х. Значит, орбит длины 8 нет, а потому нет орбит

всех длин, предшествующих 8 в порядке Шар-ковского.

Таким образом, с помощью процедуры удвоения периода можно построить отображение, имеющее период 21 и не имеющее всех предыдущих периодов.

Применяя данную процедуру, можно конструировать примеры отображений периодов для всех остальных строк со второй до предпоследней.

Приведем обещанный в начале статьи пример отображения, которое имеет орбиту длины 6 и не имеет никаких орбит нечетной длины. Для этого применим процедуру удвоения периода к отображению f, имеющему орбиту длины

3 (т. е. у f есть все периоды порядка Шарковского), в результате получим отображение7-^ с е орбиты которого имеют четную длину (и длину 6 в том числе), т. е. отображениее имеет орбит нечетной длины.

Аналогично, чтобы построить отображение, имеющее, например, период 14, у которого нет всех предыдущих периодов в порядке Шарковского, нужно применить процедуру удвоения периода к отображению £, построенному в примере 2 (у него есть период 7, но нет предшествующих периодов). В результате получается отображение^ имеющ ее период 14 и все следующие за ним в" порядке Шарковского. Ясно, что{«хне имеет периодов, предшествующих 14 в пор ядке Шарковского, в противном случае отображение £ имело бы периоды, предшествующие 7, а это не так.

Полученная нами схема построения примеров позволяет сказать, что открытая А.Н. Шар-ковским зависимость между периодами непрерывных ото бр ажений является строгой в том смысле, что для любого натурального п существует отображение, имеющее период п и не имеющее предыдущих периодов.

Список литературы

1. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М., 1999.

2. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя // Украин. математ. журн. 1964. Т. 16, вып. 1.

1. Katok A.B., Khasselblat B. Vvedenie v sovremennuyu teoriyu dinamicheskikh sistem . Moscow, 1999.

2. Sharkovskiy A.N. Sosushchestvovanie tsiklov nepreryvnogo otobrazheniya pryamoy v sebya . Ukrainskiy matematicheskiy zhurnal, 1964, vol. 16, no. 1.

Starostina Vera Valeryevna

Postgraduate Student, Institute of Mathematics, Information and Space Technologies, Northern (Arctic) Federal University named after M.V. Lomonosov (Arkhangelsk, Russia)

Teplyakov Vyacheslav Vasilyevich

Institute of Mathematics, Information and Space Technologies, Northern (Arctic) Federal University named after M.V. Lomonosov (Arkhangelsk, Russia)

AROUND SHARKOVSKY’S THEOREM

The paper demonstrates the way of constructing examples showing that for any natural p there exists a continuous map f: I ^ I that has a period p and does not have any periods preceding p in Sharkovsky sequence.

Keywords: orbit, period, cycle, Sharkovsky sequence, period doubling.

Контактная информация: Старостина Вера Валерьевна адрес: 163060, г. Архангельск, ул. Урицкого, д. 68;

e-mail: [email protected]

Тепляков Вячеслав Васильевич адрес: 163060, г. Архангельск, ул. Урицкого, д. 68;

e-mail: [email protected]

Рецензент - Андреев П.Д., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова