Ни в какой. По определению, параллельные прямые не имеют точек пересечения.
Теперь давайте по геометриям и заблуждениям. Всюду будут рассматриваться "плоскости", чтобы это ни значило.
Геометрия Евклида. То, что учили в школе, то, что привычнее и почти точно выполняется в повседневной жизни. Выделю те два факта, что будут существенны потом. Первое: в этой геометрии есть расстояние, между любыми двумя точками существует кратчайшая, и притом только одна (отрезок прямой). Второе: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной и при том только одну.
Это соответствует какой-то паре аксиом из учебника Погорелова, поэтому мне удобнее будет на это опираться.
Геометрия Лобачевского. С расстоянием в ней все отлично, но нам его сложно представить из-за постоянной отрицательной кривизны (не поняли - не страшно). С параллельностью сложнее. Через точку вне прямой всегда можно провести не просто одну, а бесконечно много параллельных прямых.
Сферическая геометрия. Во-первых, что мы считаем "прямыми". Прямые на сфере - большие круги = круги, высекаемык на сфере плоскостью, проходящей через центр = круги радиуса равного радиусу сферы. Это прямые в том смысле, что это кратчайший путь между не очень далекими (чуть позже станет понятно, какими) точками. Некоторые могли заметить, что если города находятся на одной параллели, то самолет летит не по этой параллели, а по траектории выпуклой на север в северном полушарии. Если порисуете, то заметите, что большой круг, соединяющий две точки проходит северней параллели.
Чем же плохо расстояние на сфере? Возьмем диаметрально противоположные точки на сфере, для них существует бесконечно много кратчайших. Нагляднее: посмотрю на северный и южный полюса. Все мерилианы проходят через них, все они имеют одинаковые длины, любой другой путь будет длиннее.
Параллельных прямых при этом нет совсем, любые две прямые пересекаютсяются в диаметрально противоположных точках.
Проективная плоскость. Самое главное и первое отличие: никакого расстояния нет и быть не может. В принципе, его нельзя ввести, чтобы оно удовлетворяло каким-то естественным условиям (сохранялось при "движениях" плоскости). Таким образом, ни про какие "бесконечно удаленные прямые" сама геометрия не знает, все это придумано людьми, чтобы как-то понять проективную плоскость. Самый "простой" способ: представить привычную нам плоскость (так называемую "аффинную карту") и добавить к ней прямую, которая "бесконечно удалена", причем все прямые, которые были параллельны данной в плоскости, которую представили, пересекутся в какой-то одной точке на этой "бесконечно удаленной" прямой. Такое описание довольно просто: вот я что-то написал в два предложения, и кто-то что-то уже представил. Но оно вводит в заблуждение, никакой выделенной прямой в проективной геометрии нет. Но уже это описание показывает, что параллельных прямых
Даже полюса связаны меридианами.
Чего уж говорить о параллелях,
которые нет-нет, да и пересекутся...
Если люди встречаются, идя друг другу на встречу, значит - у них разные дороги...
.Аксиома..
Любимая Женщина - ежедневная теорема любви и единственная аксиома мужского счастья...Женщина уверена, что если мужчина ей нравится, то их параллельные пути обязательно должны пересечься...Никто и спорить не будет...
Математика давно нас научила, что две параллельные прямые никогда не пересекаются. Математике то это совершенно безразлично, а вот люди иногда не правильно истолковывают все законы, в том числе - математические, примеряя их на свою жизнь...
Две судьбы существуют независимо друг от друга. Живя своими радостями и горестями, до того времени, пока не пересекаются. Возможно, они и до этого видели друг друга, знали в лицо, слышали голос.
Возможно, даже жили на одном этаже или в одном городе. Но, не имели значения друг для друга, пока однажды - их прямые не пересеклись. В самом прямом смысле! Они столкнулись у входа, наступили друг другу на ноги, оказались в одной очереди, встретились в гостях...
Как угодно, но появилась точка соприкосновения. Изменились траектории. Они подтолкнули друг друга, на секунду замерли, и… понравились друг другу. Что происходит с прямыми? Движение не может прекратиться, если оно остановится, все закончится. Только теперь они попытаются двигаться вместе, в одном направлении....
Направление! Вот что самое главное! Если одна линия тянулась слева на право, а другая - сверху вниз, то, как они соединятся? Никак. Они какое-то время побудут вместе, в одной точке, и вскоре, каждая из них продолжит движение по своей траектории....Если люди ищут счастье в разных его проявлениях, если Она мечтает стать танцовщицей, а Он - полететь в космос. Если Он занимается финансами, а она - домохозяйка. Если Она ненавидит желтый цвет, а Он - носит только эти оттенки, то это не значит, что у них ничего не получится. Это значит - что они немножко разные. Важно, чтоб Они всегда смотрели в одном направлении. В будущее, или в небо, или на закат....Пусть будет одна цель, а пути ее достижения могут разниться. От этого не поменяется смысл, содержание, а форма - понятие относительное....
А еще… одна линия не должна перекрывать другую. Они могут тянуться параллельно, но близко-близко, касаясь краями. Тянуться так в бесконечность....Да так бывает....Я знаю...Две Параллельные пересекаются в бесконечности - и они сами верят в это.
Главное - встретиться....волею Госпожи Случая... Неважно где и как....
Не проходите мимо....
P.S.ИМХО... но иногда две параллельные пересекаясь- образуют крест... крест ставится на всём...у кого то образуется крест, а кого то точка... и дальше параллельные уже никуда не идут... и так бывает... так бывает чаще всего...у многих...
Ждали.. минуты считали... видно устали... друг от друга вдали... чего то дождались,.. когда не встречались?... параллели все дальше,.. сжалившись-сжались... пересекшись в начале... разошлись-порвались... судьбы странные.. свидания рваные ,.. встречи стеклянные,.. мной изломанные.. сплелись в точку малую... жизнь усталую... сердце молчит, уже не горит... лишь тлеет- не греет... вроде пустяк
но затухший очаг, залит огонь... похорон перезвон- странный мой сон... едва холода.. но уже никогда.. не осветит звезда, этот путь в никуда.. разошлись поезда, забыли удачи, в любви нет сдачи... ведь мы параллели, точку общую имели... но не сберегли.. не вблизи, не вдали.. и снова одиноки,.. разные дороги... забыт твой номер.. хоть и не помер... в глазах печаль........... а жаль..
Параллельному лучистому свечению.. Пара ллельных линий.. так сильна их страсть… И как плод того пересечения... Маленькая точка родилась!.......
Параллельные линии не пересекаются.. Аксиома звучит обреченно.. Никогда.Никогда они...Не повстречаются.. Параллельные обрученные.. Обрученные, нареченные, параллельные.. Уходящие в даль запредельную.. Параллельные линии как правило! Не во времени,и не в этой конечности.. Не сойдутся в весёлой беспечности.. Как бы рядом их жизнь не ставила...И как близко не нарисованы.. Точек нет им пересечения...Спорить с правилами - рискованно.. Вот такое вот утверждение! Кто не понял, тому не и надобно... А кто понял - мой брат в несчастии.. От ушедшей любви нет снадобья- Лучше дружеского участья! Лучше новой любви, негаданной.. Жарких взглядов, объятий ласковых.. Варианты нам свыше заданы.. Не минуешь событий знаковых...Я желаю всем неба синего.. Счастья, радости и везения.. А изломанным жизнью линиям.. Больше точек пересечения! Ну а мы навсегда останемся.. Недоступностью отрешения... В жёлтом пламени свечки плавится.. Лишь наш след от пересечения....
Признаки параллельности двух прямых
Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:
накрест лежащие углы равны, или
соответственные углы равны, или
сумма односторонних углов равна 180°, то
прямые параллельны (рис.1).
Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1.
Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.
Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 - внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 - внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.
Следствие 1 . Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис.2).
Замечание. Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.
Задача 1. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.
Решение. Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).
Затем проводим через точку М прямую b перпендикулярно прямой р. Прямая b параллельна прямой а согласно следствию из теоремы 1.
Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной
.
Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.
Аксиома параллельных прямых. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.
1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис.4).
2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис.5).
Справедлива и следующая теорема.
Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:
накрест лежащие углы равны;
соответственные углы равны;
сумма односторонних углов равна 180°.
Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (см. рис.2).
Замечание. Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.
Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.
Пример 1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.
Решение. Пусть условию отвечает рисунок 6.
7 февраля 1832 года Николай Лобачевский представил на суд коллег свой первый труд по неевклидовой геометрии. Этот день стал началом переворота в математике, а работа Лобачевского - первым шагом к теории относительности Эйнштейна. Сегодня "РГ" собрала пятерку самых распространенных заблуждений о теории Лобачевского, бытующих среди далеких от математической науки людей
Миф первый. Геометрия Лобачевского не имеет ничего общего с Евклидовой.
На самом деле геометрия Лобачевского не слишком сильно отличается от привычной нам Евклидовой. Дело в том, что из пяти постулатов Евклида четыре первых Лобачевский оставил без изменения. То есть он согласен с Евклидом в том, что между двумя любыми точками можно провести прямую, что ее всегда можно продолжить до бесконечности, что из любого центра можно провести окружность с любым радиусом, и что все прямые углы равны между собой. Не согласился Лобачевский только с пятым, наиболее сомнительным с его точки зрения постулатом Евклида. Звучит его формулировка чрезвычайно мудрено, но если переводить ее на понятный простому человеку язык, то получается, что, по мнению Евклида, две непараллельные прямые обязательно пересекутся. Лобачевский сумел доказать ложность этого посыла.
Миф второй. В теории Лобачевского параллельные прямые пересекаются
Это не так. На самом деле пятый постулат Лобачевского звучит так: "На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную". Иными словами, для одной прямой можно провести как минимум две прямые через одну точку, которые не будут ее пересекать. То есть в этом постулате Лобачевского речи о параллельных прямых вообще не идет! Говорится лишь о существовании нескольких непересекающихся прямых на одной плоскости. Таким образом, предположение о пересечении параллельных прямых родилось из-за банального незнания сути теории великого российского математика.
Миф третий. Геометрия Лобачевского - единственная неевклидова геометрия
Неевклидовы геометрии - это целый пласт теорий в математике, где основой является отличный от Евклидова пятый постулат. Лобачевский, в отличие от Евклида, к примеру, описывает гиперболическое пространство. Существует еще теория, описывающая сферическое пространство - это геометрия Римана. Вот в ней-то как раз параллельные прямые пересекаются. Классический тому пример из школьной программы - меридианы на глобусе. Если посмотреть на лекало глобуса, то окажется, что все меридианы параллельны. Меж тем, стоит нанести лекало на сферу, как мы видим, что все ранее параллельные меридианы сходятся в двух точках - у полюсов. Вместе теории Евклида, Лобачевского и Римана называют "три великих геометрии".
Миф четвертый. Геометрия Лобачевского не применима в реальной жизни
Напротив, современная наука приходит к пониманию, что Евклидова геометрия - лишь частный случай геометрии Лобачевского, и что в реальный мир точнее описывается именно формулами русского ученого. Сильнейшим толчком к дальнейшему развитию геометрии Лобачевского стала теория относительности Альберта Эйнштейна, которая показала, что само пространство нашей Вселенной не является линейным, а представляет собой гиперболическую сферу. Между тем, сам Лобачевский, несмотря на то, что всю жизнь работал над развитием своей теории, называл ее "воображаемой геометрией".
Миф пятый. Лобачевский первым создал неевклидову геометрию
Это не совсем так. Параллельно с ним и независимо от него к подобным выводам пришли венгерский математик Янош Бойяи и знаменитый немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс. Однако труды Яноша не были замечены широкой публикой, а Карл Гаусс и вовсе предпочел не издаваться. Поэтому именно наш ученый считается первопроходцем в этой теории. Однако существует несколько парадоксальная точка зрения, что первым неевклидову геометрию придумал сам Евклид. Дело в том, что он самокритично считал свой пятый постулат не очевидным, поэтому большую часть из своих теорем он доказал, не прибегая к нему.
